Hva er det minste heltallet n slik at n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Svar:

# N = 8075 #

Forklaring:

La #v_p (k) # være mangfoldet av # P # som en faktor av # K #. Det er, #v_p (k) # er det største heltallet slik # P ^ (v_p (k)) | k #.

observasjoner:

• For noen #k i ZZ ^ + # og # P # prime, vi har #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Dette kan lett bevises ved induksjon)

• For et heltall # k> 1 #, vi har # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Dette er intuitivt, som flertall av krefter av #2# forekommer oftere enn multipler med tilsvarende krefter av #5#, og kan bevises strengt å bruke et lignende argument)

• Til #j, k i ZZ ^ + #, vi har #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # for noen hoveddeler # P # av # J #.

Fortsett, vårt mål er å finne det minste heltallet # N # slik at # 10 ^ 2016 |! N #. Som # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, da ved tredje observasjon, trenger vi bare å bekrefte det # 2016 <= v_2 (n!) # og # 2016 <= v_5 (n!) #. Den andre observasjonen betyr at sistnevnte innebærer den førstnevnte. Dermed er det tilstrekkelig å finne det minste heltallet # N # slik at # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Å finne # N # Vi vil gjøre en observasjon som gjør at vi kan beregne # V_5 (5 ^ k!) #.

Mellom #1# og # 5 ^ k #, det er # 5 ^ k / 5 # multipler av #5#, som hver bidrar minst #1# til summen #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Det er også # 5 ^ k / 25 # multipler av #25#, som hver bidrar til ytterligere #1# til summen etter den opprinnelige tellingen. Vi kan fortsette på denne måten til vi når et enkelt flertall av # 5 ^ k # (som er # 5 ^ k # seg selv), som har bidratt # K # ganger til summen. Beregning av summen på denne måten har vi

(i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Dermed finner vi det # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Til slutt finner vi # N # slik at # v_5 (n!) = 2016 #. Hvis vi beregner # V_5 (5 ^ k!) # for flere verdier av # K #, Vi finner

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Som #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # trenger to "blokker" av #5^5#, to av #5^4#, fire av #5^3#, og tre av #5^2#. Dermed får vi

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

En datamaskin kan raskt bekrefte det #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Og dermed #10^2016 | 8075!#, og som #5|8075!# med mangfold #2016# og #5|8075#, er det klart at ingen mindre verdi vil være tilstrekkelig.