Røttene {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 av x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 er slik at hver x_i = 1. Hvordan beviser du det, hvis b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Ellers, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Røttene {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 av x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 er slik at hver x_i = 1. Hvordan beviser du det, hvis b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Ellers, b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Svar:

I stedet er svaret # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # og de tilsvarende ligningene er # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 og x ^ 6 + -1 = 0. #.

Forklaring:

Det gode svaret fra Cesereo R gjorde meg i stand til å endre

min tidligere versjon, for å få svaret mitt greit.

Formen # x = r e ^ (jeg theta) # kan representere både ekte og kompleks

røtter. I tilfelle av ekte røtter x, r = | x |., Avtalt! La oss fortsette.

I denne formen splittrer ligningen i to likninger, med r = 1, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# synd 6 theta + en synd 3 theta = 0 #… (2)

For å være rolig, velg (3) først og bruk #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Det gir

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, med løsninger

#sin 3theta = 0 til theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 til theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, med k som før. … (4)

Her, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 til en i -2, 2 # … (5)

(3) reduserer (1) til

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Ved hjelp av #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) reduserer (1) til

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 til b = 1 #… (7)

Nå, fra (6), # a = + -2 #

Så, (a, b) verdiene er (+ -2, 1)..

De tilsvarende ligningene er # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 og (x ^ 6 + 1) = 0 #

Likevel, dette stemmer ikke helt med Cesareos sett av verdier for (a,). Jeg tror at jeg må vurdere mitt svar igjen. Vurderer (4) og (6) sammen ved å sette a = 0, b = - 1. Lett å bekrefte det # (a, b) = (0, -1) #er en løsning og den tilsvarende ligningen er # X ^ 6-1 = 0 #, med to virkelige røtter #+-1#. Her, # 6 theta = (4k-1) pi og cos 6theta = -1 #, og så, (6) blir b = 1, når a = 0 også. Du er 100% riktig, Cesareo. Takk skal du ha.

Det fullstendige svaret er som angitt i svarboksen.

Merk: Dette er enda et forslag, men jeg vil huske og gjøre en uttalelse om hvordan jeg hadde satt ulikhetene i det nåværende spørsmålet så tidlig som mulig.

Dessverre hadde min scribbling på denne saken gått til støvposen. Hvis dette svaret er riktig, men ikke det, jeg #angre# for det samme. Jeg må endre spørsmålet for dette svaret. Jeg tenker fort, men skriver ikke, synkronisert med tenkning. Bugs blir enkelt integrert i mine tanker.

Jeg forventer at nevrologer tilslutter meg forklaringen min, for å få feil i vårt harde arbeid.

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Å antar det # {a, b} i RR # vi har det #b = pm1 #

fordi #b = Pix_i #. Nå gjør #y = x ^ 3 # vi har

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # og løse for # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # men

# Absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

Løsning for #en# vi har # A = {0} -2,2 #

Ligningen # X ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # tilsvarer en av mulighetene

# X ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

med

# A_0 = {- 2,0,2} #

# B_0 = {- 1,1} #