Kalkulus

Lim ^ (x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) = (9) / (40a ^ x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) Som vi lett kan gjenkjenne at dette er 0/0, vil vi endre fraksjonen (x ^ 3-a ^ 3) * 3) / ((x ^ 5-a ^ 5) * 8) Bruk factoringregelen (avbryt (x -a) (a ^ 2 + ax + x ^ 2) * 3 ) / (8cancel (xa) (x ^ 4 + x ^ 3a + x ^ 2a ^ 2 + xa ^ 3 + a ^ 4) Plugg inn verdien a ((a ^ 2 aa + a ^ 2) * 3) / (8 (a ^ 4 + a ^ 3a + a ^ 2a ^ 2 + aa ^ 3 + a ^ 4) (3a ^ 2) * 3) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 3 ^ 1 + a ^ 2a ^ 2) (9a ^ 2) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 4 + a ^ 4) (9a ^ 2) / (8 (5a ^ 4) (9a ^ 2) / (40a ^ 4) = ( 9) / (40a ^ (4-2)) = (9) / (40a ^ (2) Les mer »

Arctan (e ^ x) + C "skriv" e ^ x "dx som" d (e ^ x) ", så får vi" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "med substitusjonen y =" e ^ x "får vi" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) "som er lik" arctan (y) + C " e ^ x: arctan (e ^ x) + C Les mer »

"Karakteristisk ligning er:" z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 " plate av quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0 "" så vi har to komplekse løsninger, de er "z = (1 pm sqrt (15) i) / 2" Så den generelle løsningen av den homogene ligningen er: "A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) ix) + C' exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) ix) = A + B eks (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) "Den spesifikke løsningen på den komplette ligningen er" "y = x, " Les mer »

Se svaret nedenfor: Kreditter: 1.Tak til omatematico.com (beklager portugisisk) som påminner oss om de relaterte prisene, på nettsiden: 2.Tak til KMST som påminner oss om relaterte priser på nettsiden: http://www.algebra.com/algebra/homework/Finance/Finance.faq.question.831122.html Les mer »

A) Derivatet eksisterer ikke B) Ja C) Nei Spørsmål A Du kan se dette på flere forskjellige måter. Enten kan vi differensiere funksjonen for å finne: f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) som er udefinert ved x = 2. Eller vi kan se på grensen: lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ 2/5) -3 (2-2) ^ (3/5)) / h = = lim_ (h-> 0) 0 / h Denne grenseverdien eksisterer ikke, noe som betyr at derivatet ikke eksisterer i det punktet. Spørsmål B Ja, meningsverdien gjelder. Differensieringsbetingelsen i middelverdieretningen krever bare at fu Les mer »

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = farge (blå) (3/8 Her er to forskjellige metoder du kan bruke til dette problemet annerledes enn Douglas K.s metode for bruk av l'Hôpital s regelen. Vi blir bedt om å finne grensen lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] Den enkleste måten du kan gjøre dette er å plugge inn et veldig stort tall for x (for eksempel 10 ^ 10) og se utfallet, verdien som kommer ut er vanligvis grensen (det kan du ikke alltid gjøre dette, så denne metoden er vanligvis dårlig råd): (3 (10 ^ 10) -2) / (8 (10 ^ 10) +7) ~ ~ farge (blå) (3/8 Imidlertid er f Les mer »

Lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo Maclaurin-utvidelsen av e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .. ..... Derfor, e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) + .......:. lim_ (x-> oo) (e x-1) / x = lim_ (x-> oo) (x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .... ..) / x) = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + .......) = oo Les mer »

Bær med meg litt, men det innebærer lutningsavskjæringsligningen for en linje basert på 1. derivat ... Og jeg vil gjerne lede deg til å gjøre svaret, ikke bare gi deg svaret ... Okay , før jeg kommer til svaret, vil jeg fortelle deg om den (noe) humoristiske diskusjonen min kontorkammerat, og jeg hadde bare ... Meg: "Ok, ventetekst ... Du vet ikke g (x), men du vet at derivatet er sant for alle (x) ... Hvorfor vil du gjøre en lineær tolkning basert på derivatet? Ta bare integralet av derivatet, og du har den opprinnelige formelen ... Høyre? " OM: "Vent, Les mer »

F er konveks i RR Løst det jeg tror. f er 2 ganger differentierbar i RR så f og f 'er kontinuerlige i RR Vi har (f' (x)) ^ 3 + 3f '(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 Differensiering av begge deler vi får 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <=> 3f' '(x) (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 f '(x) ^ 2> = 0 slik f' (x) ^ 2 + 1> 0 <=> f '' x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) Vi trenger tegn på telleren, så vi vurderer en ny funksjon g x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2, xinRRg Les mer »

Dette er en relatert type (av endring) type problem. Berørte variablene er a = høyde A = området, og siden området av en trekant er A = 1 / 2ba, trenger vi b = base. Gitte endringshastigheter er i enheter per minutt, så den (usynlige) uavhengige variabelen er t = tid i minutter. Vi blir gitt: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Og vi blir bedt om å finne (db) / dt når a = 9 cm og A = 81cm "" 2 A = 1 / 2ba, differensiering med t, får vi: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Vi trenger produktregelen til høyre. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b Les mer »

V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 Området er løsningen på dette systemet: {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} Og det er skissert i denne plottet: Formelen for volumet av en x-akse rotasjon fast er: V = pi * int_a ^ bf ^ 2 (z) dz. For å bruke formelen skal vi oversette halvmåne på x-aksen, og området endres ikke, og det vil ikke endre volumet: y = -x ^ 2 + 2x + 3farger (rød) (- 3 ) = - x ^ 2 + 2x y = 3color (rød) (- 3) = 0 På denne måten får vi f (z) = - z ^ 2 + 2z. Det oversatte området er nå plottet her: Men hvilke er integralens a og b? Løsningene i Les mer »

Se nedenfor. Jeg håper det hjelper. Delvis derivat er iboende forbundet med totalvariasjonen. Anta at vi har en funksjon f (x, y) og vi vil vite hvor mye det varierer når vi introduserer en økning til hver variabel. Fiksere ideer, lage f (x, y) = kxy vi vil vite hvor mye det er df (x, y) = f (x + dx, y + dy) har f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy og deretter df (x, y) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy-k xy = kx dx + ky dy + k dx dy Velger dx, dy vilkårlig liten da dx dy ca 0 og deretter df (x, y) = kx dx + ky dy men generelt df (x, y ) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = Les mer »

Her gjør jeg: "Jeg vil la noen" "theta = arcsin (9x)" "og noen" "alpha = arccos (9x) Så jeg får," "sintheta = 9x" "og" " cosalpha = 9x Jeg differensierer begge implisitt slik: => (costheta) (d (theta)) / (dx) = 9 "= = (d (theta)) / (dx) = 9 / (costheta) = 9 / (sqrt (1-sin ^ 2theta)) = 9 / (sqrt (1- (9x) ^ 2) - Deretter skiller jeg cosalpha = 9x => (- sinalpha) * (d (alfa)) / = - 9 / (sqrt (1-cosalpha)) = - 9 / sqrt (1- (9x)) / (dx) = - 9 / 2) Generelt, "f (x) = theta + alfa Så, f ^ ('') (x) = (d (theta)) / (dx) + (d Les mer »

Normal linje: y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2. Tangent linje: y = e ^ 2x -e ^ 2. For intuisjon: Forstå at funksjonen f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy beskriver høyden på noe terreng, hvor x og y er koordinater i flyet og ln (y) antas å være den naturlige logaritme. Da er alle (x, y) slik at f (x, y) = a (høyden) tilsvarer noen konstante a kalles nivåkurver. I vårt tilfelle er den konstante høyden a noll, siden f (x, y) = 0. Du kan være kjent med topografiske kart, der de lukkede linjene indikerer linjer med samme høyde. Nå er gradientgraden f (x, y) = ((delvis f) / (delvis x) Les mer »

C = 4 Gjennomsnittlig verdi: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2 dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Så gjennomsnittlig verdi er (-4 / c + 4) / (c-1) Løsning (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 får oss c = 4. Les mer »

Dy / dx er null for x = -2 pm sqrt (11), og dy / dx er udefinert for x = -2 Finn derivatet: dy / dx = (d (x ^ 2 - 3x + 1)) / dx 1 / (x + 2) + (x ^ 2 - 3x + 1) (d) / (dx) (1 / (x + 2)) = (2x-3) / (x + 2) 3x + 1) 1 / (x + 2) ^ 2 = (2x-3) (x + 2) - (x ^ 2 - 3x + 1)) / (x + 2) ^ 2 = (2x ^ 2 - 3x + 4x -6 - x ^ 2 + 3x-1) / (x + 2) ^ 2 = (x ^ 2 + 4x -7) / (x + 2) ^ 2 ved produktregelen og forskjellige forenklinger. Finn nuller: dy / dx = 0 hvis og bare hvis x ^ 2 + 4x -7 = 0. Røttene til dette polynomet er x_ {1,2} = (1/2) (- 4 pm sqrt (4 ^ 2-4 (-7))) = -2 pm sqrt (11), så dy / dx = 0 for x = -2 pm sqrt (11). Finn hvor Les mer »

Dy / dx = 3sqrtx y = 2xsqrtx = uv dy / dx = u (dv) / dx + v (du) / dx u = 2x (du) / dx) = 2 v = sqrtx = x ^ dv) / (dx) = 1/2 * x ^ (1 / 2-1) = x ^ (- 1/2) / 2 dy / dx = 2x * x ^ (- 1/2) / 2 + 2 * x ^ (1/2) = sqrtx + 2sqrtx = 3sqrtx Les mer »

F (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 ^ ^ => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) "Ta nå" C_1 (y) = y ^ 6 + c C_2 (x) = x ^ 4 + c "Da har vi en og samme f, som tilfredsstiller forholdene." => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c Les mer »

Maksimum: 1/2 Minimum: -1/2 En alternativ tilnærming er å omorganisere funksjonen i en kvadratisk ligning. Som dette: f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 La f ) = c "" for å få det til å se nyere :-) => cx ^ 2-x + c = 0 Husk at for alle ekte røtter av denne ligningen er diskriminanten positiv eller null Så vi har, 4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 Det er lett å gjenkjenne at -1/2 < = c <= 1/2 Derfor, -1/2 <= f (x) <= 1/2 Dette viser at maksimumet er f ( Les mer »

Krysskurven kan parametriseres som (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9). Jeg er ikke sikker på hva du mener med vektorfunksjon. Men jeg forstår at du søker å representere skjæringsgraden mellom de to flatene i spørsmålet. Siden sylinderen er symmetrisk rundt z-aksen, kan det være lettere å uttrykke kurven i sylindriske koordinater. Bytt til sylindriske koordinater: x = r cos theta y = r sin theta z = z. r er avstanden fra z-aksen, og theta er mot klokken vinkel fra x-aksen i x, y-planet. Da blir den første overflaten x ^ 2 + y ^ 2 = 81 r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 8 Les mer »

Den generelle løsningen er: phi = Ae ^ (- (8pi ^ 2mE) / h ^ 2x) Vi kan ikke gå videre som v er udefinert. Vi har: (dphi) / dx + k phi = 0 Dette er en første ordreseparativ ODE, slik at vi kan skrive: (dphi) / dx = - k phi 1 / phi (dphi) / dx = vi skiller variablene for å få int 1 / phi d phi = - int k dx Som består av standard integraler, slik at vi kan integrere: ln | phi | = -kx + lnA:. | Phi | = Ae ^ (- kx) Vi merker at eksponentiell er positiv over hele domenet, og vi har også skrevet C = lnA som integrasjonskonstant. Vi kan da skrive den generelle løsningen som: phi = Ae ^ (- kx Les mer »

Y = - (3x) /14-2.53 "Tangent": d / dx [f (x)] = f '(x) "Normal": - 1 / (f' (x)) = - 1 / dx [cscx + tanx-cotx]) = - 1 / (d / dx [cscx] + d / dx [tanx] -d / dx [cotx]) = - 1 / (- cscxcotx + si ^ 2x + csc ^ 2x ) -1 / (f '(- pi / 3)) - 1 / (- csc (-pi / 3) barneseng (-pi / 3) + sec ^ 2 (-pi / 3) + csc ^ 2 pi / 3)) = - 1 / (14/3) = - 3/14 y = mx + cf (a) = ma + c csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) pi / 3) = - pi / 3 (-3/14) + cc = csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) -cot (-pi / 3) + pi / 3 (-3/14 ) c = -2,53 y = - (3x) / 14-2,53 Les mer »

(dy) / (dx) = secxtanx-sec ^ 2x For å differensiere sekx her '/ hvordan det går: secx = 1 / cosx Du skal bruke en kvotientregel: det er "nevner (cosx)" xx "derivat av teller" 1) - "Nøkkelenavn (cosx) teller" xx "Nivellerivatniv" (cosx) OG ALT DEN - :( "nevner") ^ 2 (d (sekx)) / (dx) = (cosx (0) - 1 (-sinx)) / (cosx) ^ 2 = sinx / cos ^ 2x = 1 / cosx xx sinx / cosx = farge (blå) (sekxtanx) Nå går vi til tanx Samme prinsipp som ovenfor: (d (tanx)) / (dx) = (cosx (cosx) -sin (-cosx)) / (cosx) ^ 2 = (cos ^ 2x + sin ^ 2 x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ Les mer »

Pi ln3 Hvis tan (3 x) = 0, så er sin (3 x) = 0 og cos (3 x) = + -1 Derfor er 3 x = kpi for noe heltall k. Vi ble fortalt at det er ett null på [0,1,4]. Den null er IKKE x = 0 (siden tan 1! = 0). Den minste positive løsningen må ha 3 ^ x = pi. Derfor x = log_3 pi. La oss nå se på derivatet. f '(x) = sec ^ 2 (3 ^ x) * 3 ^ x ln3 Vi vet fra ovenfor at 3 ^ x = pi, så på det punktet f' = sec ^ 2 (pi) * pi ln3 = (- 1 ) ^ 2 pi ln3 = pi ln3 Les mer »

A = 2 og b = -4 Gitt: y = ax ^ 2 + bx, y (1) = -2 Fra gitt kan du erstatte 1 for x og 2 for y og skrive følgende ligning: -2 = a + b " [1] "Vi kan skrive den andre ligningen ved å bruke den første avledningen er 0 når x = 1 dy / dx = 2ax + b 0 = 2a + b" [2] "Trekk likning [1] fra ligning [2]: 0 - -2 = 2a + b - (a + b) 2 = aa = 2 Finn verdien av b ved å erstatte a = 2 i ligning [1]: -2 = 2 + b -4 = bb = -4 Les mer »

(df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) fra definisjonen av derivatet og tar noen grenser. La f (x) = x ^ 2 sin (x). Deretter (df) / dx = lim_ {h til 0} (f (x + h) - f (x)) / h = lim_ {h til 0} (x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h til 0} (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2in (x)) / h + lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + lim_ {h til 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + lim_ {h til 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h ved en trigonometrisk identitet og noen forenklinger. På disse fir Les mer »

-sin (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) For dette problemet må vi bruke kjedestyre, samt det faktum at derivatet av cos (u) = -in ( u). Kjedestyrelsen sier i utgangspunktet bare at du først kan utlede ytelsesfunksjonen med hensyn til hva som er inne i funksjonen, og deretter multiplisere dette med derivatet av det som er inne i funksjonen. Formelt, dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, hvor u = x ^ 2 + 1. Vi må først trene ut derivatet av biten i cosinus, nemlig 2x. Da, etter å ha funnet derivatet av cosinusen (en negativ sinus), kan vi bare multiplisere den med 2x. = -Sin (x ^ 2 + 1) * 2x Les mer »

1568 * pi cc / minutt Hvis radiusen er r, er endringshastigheten av r med hensyn til tiden t, d / dt (r) = 2 cm / minutt. Volumet som en funksjon av radius r for en sfærisk gjenstand er V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Vi må finne d / dt (V) ved r = 14cm Nå d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Men d / dt (r) = 2 cm / minutt. Dermed er d / dt (V) ved r = 14 cm: 4pi * 14 ^ 2 * 2 kubikk cm / minutt = 1568 * pi cc / minutt Les mer »

Dette er et problem med tilhørende priser (av endring). Hastigheten som luften blir blåst inn måles i volum pr tidsenhet. Det er en volumendring i forhold til tid. Hastigheten ved hvilken luft blåses inn er den samme som hastigheten der ballongvolumet øker. V = 4/3 pi r ^ 3 Vi vet (dr) / (dt) = 5 "cm / sek". Vi vil ha (dV) / (dt) når r = 13 "cm". Differensier V = 4/3 pi ^ 3 implisitt med hensyn til td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Plugg inn det du kjenner og løser for det du ikke kjenner. (dV) / Les mer »

Y = A e ^ -x + x - 1 "Dette er en lineær førsteordelings diff. eq. Det finnes en generell teknikk for å løse denne typen likning. Situasjonen her er enklere" "skjønt." "Først søk løsningen av den homogene ligningen (= den samme ligningen med høyre side som null:" {dy} / {dx} + y = 0 "Dette er en lineær første ordens diff. Ekv. Med konstante koeffisienter . "" Vi kan løse de med substitusjonen "y = A e ^ (rx): r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 => r + 1 = 0" (etter deling gjennom "A e ^ (rx) ") => r Les mer »

"Se forklaring" "Multiplicer med" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Da får du" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt x ^ 2 - 7 x + 3)) "(fordi" (ab) (a + b) = a ^ 2b2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / sqrt (x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) " 1 x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (3 x) = lim {x-> oo} Les mer »

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt (1-t ^ 2) ^ 2 farge (hvit) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 farge (hvit) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ( (T-4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 farge (hvit) 4) ^ 2 farge (hvit) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) 2 -: - 4 / -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2 ) ^ 2) = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 Les mer »

Denne integral eksisterer ikke. Siden ln x> 0 i intervallet [1, e], har vi sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x her, slik at integralet blir int_1 ^ e dx / {x ln x} Erstatter ln x = u, så dx / x = du slik at int_1 ^ dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Dette er en feil integral, siden integanden avviker ved den nedre grensen. Dette er definert som lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u hvis dette eksisterer. Nå int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l siden dette avviger i grensen l -> 0 ^ +, eksisterer integralet ikke. Les mer »

Ved x = 1 Overvei nevnen. x ^ 2 + 2x -3 Kan skrives som: x ^ 2 + 2x +1 -4 (x + 1) ^ 2 -4 (x + 1) ^ 2 -2 ^ 2 Nå fra forhold a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) vi har (x + 1 +2) (x + 1 -2)) (x + 3) (x-1)) Hvis x = 1, er nevnen i funksjonen ovenfor null og funksjonen har en tendens til å være oo og ikke differensierbar. Er avskyelig. Les mer »

V = 4/3r ^ 3pi (dV) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dV) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi Nå vi ser på våre mengder for å se hva vi trenger og hva vi har. Så, vi vet hvilken frekvens volumet endrer. Vi vet også det innledende volumet, som gjør at vi kan løse radiusen. Vi ønsker å vite hvilken frekvens radius endrer seg etter 7 timer. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 rot (3) (255 / pi) = r Vi plugger denne verdien inn for "r" inne i derivatet: (dV) / (dt) = 4 (root (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / (dt) pi Vi vet at (dV) / (dt) = -17, så etter 7 ti Les mer »

-3. La f (x) = ([2-x] + [x-2] -x). Vi finner venstre hånd og høyre håndgrense for f som x to2. Som x til 2-, x <2; "fortrinnsvis 1 <x <2." Ved å legge til -2 til ulikheten, får vi, -1 lt (x-2) <0, og multiplikerer ulikheten med -1, vi får 1 gt 2-x gt 0.:. [x-2] = - 1 ......., og, ................. [2-x] = 0. rArr lim_ (x til 2-) f (x) = (0 + (-1) -2) = - 3 ....................... star_1). Som x til 2+, x gt 2; "fortrinnsvis" 2 lt x lt 3:. 0 lt (x-2) lt 1, og -1-l (2-x) lt 0.:. [2-x] = - 1, ......., og, .............. [x-2] = 0. rArr lim_ (x til 2+) f (x) = (- 1 Les mer »

Se nedenfor. Avledet av hastighet er akselerasjon, det vil si at skråningen av hastighetstidsgrafen er akselerasjonen. Tar avledet av hastighetsfunksjonen: v '= 2 - 2sin (2t) Vi kan erstatte v' ved a. a = 2 - 2sin (2t) Sett nå a til 0. 0 = 2 - 2sin (2t) -2 = -2sin (2t) 1 = sin (2t) pi / 2 = 2t t = pi / 4 Siden vi vet at 0 <t <2 og periodiciteten til synden (2x) -funksjonen er pi, vi kan se at t = pi / 4 er den eneste tiden da akselerasjonen vil bli 0. Les mer »

Svaret er = x "bue" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Vi trenger (sec ^ -1x) '= ("bue" secx)' = 1 / (xsqrt 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integrering av deler er intu'v = uv-intuv 'Her har vi u' = 1, =>, u = xv = "bue "sekx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Derfor er int" bue "secxdx = x" bue "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Utfør det andre integralet ved substitusjon La x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (secu + tanu) du) Les mer »

Avstanden endres ved sqrt (1476) / 2 knop per time. La avstanden mellom de to båtene være d og antall timer de har reist på, være h. Ved pythagorasetningen har vi: (15h) ^ 2 + (12h) ^ 2 = d ^ 2 225h ^ 2 + 144h ^ 2 = d ^ 2 369h ^ 2 = d ^ 2 Vi skiller nå dette med tiden. 738h = 2d ((dd) / dt) Det neste trinnet er å finne hvor langt fra hverandre de to båtene er etter to timer. På to timer vil den nordgående båten ha gjort 30 knuter, og den vestgående båten vil ha gjort 24 knuter. Dette betyr at avstanden mellom de to er d ^ 2 = 24 ^ 2 + 30 ^ 2 d = sqrt (1476) Vi vet Les mer »

78.1mi / hr Bil A reiser sør og bil B reiser vest for å ta opprinnelsen som punktet hvor bilene begynner å ligne bil A = Y = -60t ligning av bil B = X = -25t Avstand D = (X ^ 2 + Y ^ 2) ^ 0,5 D = (2500tt + 3600tt) ^ 0,5 D = (6100t) ^ 0,5 D = 78,1 * t endringshastighet for D dD / dt = 78,1 Forandringshastigheten for avstanden mellom bilene er 78,1mi / h Les mer »

A) N (14) = 3100-400sqrt2 ~~ 2534 farge (hvit) (... |) N (34) = 3900-400sqrt2 ~~ 3334 b) N (t) = 400sqrt (t + 2) + 1500- 400sqrt2 Vi begynner med å løse for N (t). Vi kan gjøre dette ved å bare integrere begge sider av ligningen: N '(t) = 200 (t + 2) ^ (- 1/2) int N' (t) dt = int 200 (t + 2) ^ (- 1/2) dt Vi kunne gjøre en u-substitusjon med u = t + 2 for å evaluere integralet, men vi gjenkjenner det du = dt, slik at vi bare kan late som t + 2 er en variabel og bruk kraften regelen: N (t) = (200 (t + 2) ^ (1/2)) / (1/2) + C = 400sqrt (t + 2) + C Vi kan løse for konstant C siden vi Les mer »

La oss ta noen derivater! For f (x) = 1 - x - e ^ (- 3x) / x har vi f '(x) = - 1 - (-3xe ^ (- 3x) -e ^ (- 3x)) / x ^ 2 Dette forenkler (slags) til f '(x) = - 1 + e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 Derfor er f' '(x) = e ^ (- 3x) ) / x ^ 3-3e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3-3 (3x + 1) / x ^ 2 ) = e ^ (- 3x) ((3x2) / x ^ 3 + (- 9x-3) / x ^ 2) = e ^ (- 3x) ((3x-2) / x ^ 3 + (-9x ^ 2-6x-2) / x ^ 3) La nå x = 4. f '' (4) = e ^ (- 12) ((- 9 (16) ^ 2-6 (4) -2) / 4 ^ 3) Vær oppmerksom på at eksponentiell er alltid positiv. Telleren av fraksjonen er negativ for alle positive v Les mer »

Dy / dx = 2 / x ^ 2 Du kan bli fristet til å bruke implisitt differensiering her, men siden du har en relativt enkel likning, er det mye lettere å løse for y i form av x, og bruk bare normal differensiering. Så: 2 + xy = x => y = (x-2) / x = 1 - 2 / x Nå bruker vi bare en enkel kraftregel: => dy / dx = - (- 2x ^ -2) = 2 / x ^ 2 Der er du! Merk at du kunne ha brukt implisitt differensiering for å løse dette, men ved å gjøre dette har vi et derivat som bare gjelder x, noe som er litt mer praktisk. Uansett hvilken metode du bruker, bør svaret ditt være det samme. H& Les mer »

False Som du trodde, ville intervallet bli lukket for at setningen skulle være sant. For å gi en eksplisitt moteksempel, vurder funksjonen f (x) = 1 / x. f er kontinuerlig på RR {0}, og er dermed kontinuerlig på (0,1). Men som lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = oo er det tydeligvis ikke noe punkt c i (0,1) slik at f (c) er maksimal innenfor (0,1). Faktisk, for noen c i (0,1), har vi f (c) <f (c / 2). Dermed erklærer ikke uttalelsen for f. Les mer »

Vennligst henvis til forklaringen. For å vise at h er kontinuerlig, må vi sjekke kontinuiteten ved x = 3. Vi vet at det vil fortsette. ved x = 3, hvis og bare hvis, lim_ (x til 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x til 3+) h (x) ............ ................... (ast). Som x til 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1. :. lim_ (x til 3-) h (x) = lim_ (x til 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (x til 3-) h (x) = 4 ............................................ .......... (ast ^ 1). På samme måte er lim_ (x til 3+) h (x) = lim_ (x til 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0. rArr lim_ (x til 3+) h (x) = 4 Les mer »

Funksjonen er kontinuerlig på hele domenet. Domenet til f (x) = 1 / sqrtx er det åpne intervallet (0, oo). For hvert punkt er a i dette intervallet f kvoten til to kontinuerlige funksjoner - med en ikke-null nevner - og er derfor kontinuerlig. Les mer »

Rot (4) (84) ~~ 3,03 Merk at 3 ^ 4 = 81, som er nær 84. Så rot (4) (84) er litt større enn 3. For å få en bedre tilnærming, kan vi bruke en lineær tilnærming, aka Newtons metode. Definer: f (x) = x ^ 4-84 Så: f '(x) = 4x ^ 3 og gitt en omtrentlig null x = a av f (x), en bedre tilnærming er: a - (f (a)) / (f '(a)) Så i vårt tilfelle, setter a = 3, er en bedre tilnærming: 3- (f (3)) / (f' (3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4) 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) Dette er nesten nøyaktig på 4 signifikante tall, men la oss siter Les mer »

Dette ser lett ut som ikke gjøres på grunnleggende måter, så jeg bare løst det numerisk og fikk: Jeg evaluerte integralet for n = 1, 1,5, 2,. . . , 9,5, 10, 25, 50, 75, 100. Da var det klart å nå 0,5. Les mer »

2 For en hvilken som helst linje: {(y = mx + b), (y '= m):} qquad m, b i RR Plugging i DE: m + xm ^ 2 - y = 0 betyr y = m ^ 2 x + m qquad qquad = mx + bm = m ^ 2 betyr m = 0,1 betyr b = 0,1:. y = {(0), (x + 1):} begge tilfredsstille DE Les mer »

(Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / NX ^ (2-n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 ... Vi kjenner følgende Maclaurin-serie for ln (x + 1): ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ +1) / nx ^ n = xx ^ 2/2 + x ^ 3/3 ... Vi kan finne en serie for ln (x ^ 2 + 1) ved å erstatte alle x'ene med x ^ 2: ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n Nå kan vi bare dele med x ^ 2 for å finne serien vi leter etter: (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = = sum_ (n = 1 ) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ o Les mer »

De overordnede trinnene er: Tegn en trekant som er konsistent med den oppgitte informasjonen, merking av relevant informasjon. Bestem hvilke formler som er fornuftige i situasjonen (Areal av hele trekant basert på to fastlengs sider og trigrelasjoner av høyre trekanter for variabelhøyde). noen ukjente variabler (høyde) tilbake til variabelen (theta) som tilsvarer den eneste givne frekvensen (d theta) / (dt)) Gjør noen substitusjoner til en "hovedformel" (områdeformel) slik at du kan forvente å bruke Den angitte hastigheten Differensier og bruk den oppgitte hastigheten for å Les mer »

Vi begynner på dette problemet ved å finne tangenspunktet. Erstatning i verdien av 1 for x. x ^ 3 + y ^ 3 = 9 (1) ^ 3 + y ^ 3 = 9 1 + y ^ 3 = 9 y ^ 3 = 8 Ikke sikker på hvordan du viser en kubet rot ved hjelp av vår mattenotasjon her på sokratisk men husk at Å øke en mengde til 1/3 effekten er ekvivalent. Løft begge sider til 1/3 effekten (y ^ 3) ^ (1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 * 1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 / 3) = 8 ^ (1/3) y ^ (1) = 8 ^ (1/3) y = (2 ^ 3) ^ (1/3) y = 2 ^ (3 * 1/3) y = 2 ^ (3/3) y = 2 ^ (1) y = 2 Vi fant bare at når x = 1, y = 2 Fullfør den implisitte differensiering Les mer »

Uansett hva du sier der oppe, ser alt ut som vi skal gjøre, for å vise at hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ). Ser ut som hvilket sted du fikk dette spørsmålet fra, er forvirret om definisjonen av hatT_L. Vi vil ende opp med å bevise at bruk av hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) gir [hatD, hatx] - = [ihatp_x // ℏ, hatx] = 1 og ikke hatT_L = e ^ LhatD). Hvis vi vil at alt skal være konsistent, så hvis hatT_L = e ^ (- LhatD), må det være at [hatD, hatx] = bb (-1). Jeg har løst spørsmålet og adressert det allerede. Fra del 1 hadde vi vist at for denne definisjonen Les mer »

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2 | | C = x * tan ^ -1 (4x) -1/8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx La, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Ved hjelp av integrasjon av deler, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * tanu-log | secu |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Andre metode: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 / (1 + Les mer »

Ved substitusjon og integrasjon av deler, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C La oss se på noen detaljer. int ln (2x + 1) dx ved substitusjonen t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt ved Integrering av deler, La oss = ln t og dv = dt Rightarrow du = dt / t og v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C ved faktoring ut t, = 1 / 2t (lnt-1) + C ved å sette t = 2x + 1 tilbake, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Les mer »

Vårt mål er å redusere kraften til ln x slik at integralet er enklere å evaluere. Vi kan oppnå dette ved å bruke integrasjon av deler. Husk IBP formelen: int u dv = uv - int v du Nå vil vi la u = (lnx) ^ 2 og dv = dx. Derfor er du = (2lnx) / x dx og v = x. Nå samler du bitene sammen, får vi: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Dette nye integralet ser mye bedre ut! Forenkle litt, og bringe konstant ut foran, gir: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nå, for å kvitte seg med dette neste integralet, vil vi gjøre en andre integrasjon av d Les mer »

Ved integrasjon av deler, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C La oss se på noen detaljer. La oss = sin ^ {- 1} x og dv = dx. Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} og v = x Ved integrasjon av deler, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx La u = 1-x ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Derav intint ^ s - {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Les mer »

Ved hjelp av integrasjon av deler, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Husk at integrasjon av deler bruker formelen: intu dv = uv - intv du Hvilket er basert på produktregelen for derivater: uv = vdu + eks For å bruke denne formelen må vi bestemme hvilket uttrykk du vil, og hvilken vil være dv. En nyttig måte å finne ut hvilken term som går hvor er ILATE-metoden. Inverse Trig Logaritmer Algebra Trig Eksponensialer Dette gir deg en prioriteringsordning som er brukt til "u", så det som blir igjen blir vår dv. Vå Les mer »

Ved integrasjon av deler, int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C La oss se på noen detaljer. La oss = lnx og dv = x ^ 5dx. Rightarrow du = {dx} / x og v = x ^ 6/6 Ved integrasjon av deler int utv = uv-int vdu, har vi int (lnx) cdot x ^ 5dx = (lnx) cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x ved å forenkle litt, = x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx ved Power Rule, = x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C ved å fakturere x ^ 6 / 36, = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Les mer »

Vi vil huske formelen for integrasjon av deler, som er: int u dv = uv - int v du For å finne dette integralet vellykket vil vi la u = x og dv = cos 5x dx. Derfor er du = dx og v = 1/5 sin 5x. (v kan bli funnet ved hjelp av en rask u-substitusjon) Grunnen til at jeg valgte x for verdien av deg er fordi jeg vet at senere vil jeg ende opp med å integrere v multiplisert med degs derivat. Siden derivatet av deg er bare 1, og siden integrering av en trig-funksjon av seg selv ikke gjør det noe mer komplekst, har vi effektivt fjernet x fra integandet og bare trenger å bekymre seg for sinusen nå. Så, p Les mer »

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Prosess: int x e ^ (- x) dx =? Dette integralet vil kreve integrering av deler. Husk formelen: int u dv = uv - int v du Vi lar u = x og dv = e ^ (- x) dx. Derfor du = dx. Å finne v krever en u-substitusjon; Jeg vil bruke bokstaven q i stedet for deg, siden vi allerede bruker deg i integrasjonen med delformel. v = int e ^ (- x) dx la q = -x. dermed dq = -dx Vi vil omskrive integralet og legge til to negativer for å imøtekomme dq: v = -int -e ^ (- x) dx Skrevet i forhold til q: v = -int e ^ (q) dq Derfor v = -e ^ (q) Når vi går tilbake til q, gir vi oss Les mer »

Vi vil bruke integrasjon av deler. Husk IBPs formel, som er int u dv = uv - int v du La u = ln x og dv = x dx. Vi har valgt disse verdiene fordi vi vet at derivatet av ln x er lik 1 / x, noe som betyr at vi i stedet for å integrere noe ganske enkelt, i stedet for å integrere noe komplisert (en naturlig logaritme) (et polynom) Således du = 1 / x dx og v = x ^ 2 / 2. Plugging i IBPs formel gir oss: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx En x vil avbryte fra den nye integand: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx Løsningen kan nå lett bli funnet ved hjelp av strømregelen Les mer »

= lx_ (h-> 0) (x + h) ^ 2 + 9 (x + h) - 3 - (x ^ 2 + 9x - 3)) / h = lim_ (h-> 0) + 2xh + h ^ 2 + 9x + 9h - 3 - x ^ 2 - 9x + 3) / h = lim_ (h-> 0) (avbryt (x ^ 2) + 2xh + h ^ 2 + avbryt (9x) + 9h - avbryt (3) - avbryt (x ^ 2) - avbryt (9x) + avbryt (3)) / h = lim_ (h-> 0) (2xh + h ^ 2 + 9h) / h = lim_ 0) (h (2x + h + 9)) / h = lim_ (h-> 0) (avbryt (h) (2x + h + 9)) / avbryt (h) = lim_ (h-> 0) 2x + 0 + 9 = 2x + 9 Les mer »

0,02083 (reell verdi 0,0208008) Dette kan løses med formelen til Taylor: f (a + x) = f (a) + xf '(a) + (x ^ 2/2) f' ' Hvis f (a) = a ^ (1/3) Vi vil få: f '(a) = (1/3) a ^ (- 2/3) nå hvis a = 0.008 deretter f (a) = 0.2 og f '(a) = (1/3) 0,008 ^ (- 2/3) = 25/3 Så hvis x = 0,001 da f (0,009) = f (0,008 + 0,001) ~~f (0,008) + 0,001xxf' (0,008) = = 0,2 + 0,001 * 25/3 = 0,2083 Les mer »

Se nedenfor. Så, f (x) = 1 / 2x - sinx, er en ganske enkel funksjon for å skille mellom. Husk at d / dx (sinx) = cosx, d / dx (cosx) = -sinx og d / dx (kx) = k, for noen k i RR. Derfor er f '(x) = 1/2 - cosx. Derfor er f '' (x) = sinx. Husk at hvis en kurve er konkav opp, f '' (x)> 0, og hvis den er 'konkav ned', f '' (x) <0. Vi kan løse disse ligningene ganske enkelt, ved hjelp av vår kunnskap om grafen til y = sinx, som er positiv fra et «jevnt« flertall av pi til et "oddetall" og negativt fra et «jevnt» flertall til et «merk Les mer »

La: a_n = 5 + 1 / n da for noen m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gitt et ekte tall epsilon> 0, velg deretter et helt tall N> 1 / epsilon. For alle heltall m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon som viser Cauchys tilstand for konvergens av en sekvens. Les mer »

Bruk egenskapene til den eksponensielle funksjonen til å bestemme N slik som | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definisjonen av konvergensstilstander som {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så, gitt epsilon> 0 ta N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Nå som 2 ^ x er alltid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da Les mer »

1 "Merk at:" farge (rød) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Så her har vi" lim_ {x-> pi / 2} sin )) / cos (x) "Nå gjelder regel de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1 Les mer »

F (x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (cot (e ^ (4x))) ^ (- 1/2)) / 2 farge (hvit) (x)) = - (2e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x))) / sqrt (barneseng (e ^ (4x)) f (x) = sqrt f (x) = 1/2 * (g (x)) ^ (- 1/2) * g '(x) farge (hvit) ) (f '(x)) = (g' (x) (g (x)) ^ (- 1/2)) / 2 g (x) = barneseng (e ^ (4x)) farge (hvit) (x)) = cot (h (x)) g '(x) = - h' (x) csc ^ 2 (h (x)) h (x) = e ^ x) = e ^ (j (x)) h '(x) = j' (x) e ^ (j (x)) j (x) = 4x j ' 4e) (4x) g '(x) = - 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) f' (x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (cot (e ^ (4x))) (1/2)) / 2 farge (hvit) (f '(x)) = - (2e ^ (4x) Les mer »

Lim_ (x-> 0) (lncotx) ^ tanx = 1 lim_ (x-> 0) tanx = 0 lim_ (x-> 0 ^ +) cotx = + oo lim_ (x-> 0 ^ -) cotx = -oo lim_ (x -> + oo) ln (x) = oo oo ^ 0 = 1 siden a ^ 0 = 1, a! = 0 (vi sier a! = 0, siden det blir litt komplisert ellers, noen si det er 1, noen sier 0, andre sier det er udefinert, etc.) Les mer »

Forholdet mellom radius, r, av vannets øvre overflate til vanndybden, w er en konstant avhengig av de samlede dimensjonene av konen r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Volumet av kjeglen av vann er gitt ved formelen V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w eller, i form av bare w for den givne situasjonen V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Vi blir fortalt at (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Når w = 6 er vanndybden endring med en hastighet på (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Uttrykket med hen Les mer »

La V være volumet av vann i tanken, i cm ^ 3; la h være dybden / høyden på vannet, i cm; og la r være radius av overflaten av vannet (på toppen), i cm. Siden tanken er en invertert kjegle, så er også massen av vann. Siden tanken har en høyde på 6 m og en radius på toppen av 2 m, betyr lignende trekanter at frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 slik at h = 3r. Volumet av den inverterte kjegle av vann er da V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Differensier nå begge sider med hensyn til tiden t (i minutter) for å få frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac Les mer »

= (5) / (9 pi) ft / min For en gitt høyde, h, av væske i sylinder eller radius r, er volumet V = pi r ^ 2 h Differensiering av tidspunktet for punkttidspunktet V = 2 pi r dot rh + pi r ^ 2 dot h men dot r = 0 slik prikk V = pi r ^ 2 dot h dot h = prikk V / (pi r ^ 2) = (5) / (pi (3 ^ 2)) = (5) / (9 pi) ft / min Les mer »

40pi "cm" ^ 2 "/ min" Først bør vi begynne med en ligning vi kjenner knyttet til området av en sirkel, bassenget og dets radius: A = pir ^ 2 Vi vil imidlertid se hvor fort området Bassenget er økende, noe som høres mye ut som hastighet ... som høres mye ut som et derivat. Hvis vi tar derivatet av A = pir ^ 2 med hensyn til tid, ser vi det: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Ikke glem at kjedestyringen gjelder til høyre side med r ^ 2 - dette ligner på implisitt differensiering.) Så, vi vil bestemme (dA) / dt. Spørsmålet fortalte oss at (dr) / dt Les mer »

R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 La meg omstille spørsmålet som jeg forstår det. Forutsatt at overflaten på dette objektet er 200pi, maksimere volumet. Planlegg Å vite overflaten, kan vi representere en høyde h som en funksjon av radius r, da kan vi representere volumet som en funksjon av bare én parameter - radius r. Denne funksjonen må maksimeres ved å bruke r som parameter. Det gir verdien av r. Overflaten inneholder: 4 vegger som danner en sideflate av en parallellpipet med en omkrets av en base 6r og høyde h, som har et totalt areal på 6rh.1 tak, halvparten av Les mer »

Når flyet ligger 2mi unna radarstasjonen, er avstandens økningshastighet ca 433 m / h. Følgende bilde representerer vårt problem: P er flyets posisjon R er radarstasjonens posisjon V er punktet plassert vertikalt av radarstasjonen ved flyets høyde h er flyets høyde d er avstanden mellom flyet og radarstasjonen x er Avstanden mellom flyet og V-punktet Siden flyet flyr horisontalt, kan vi konkludere med at PVR er en riktig trekant. Derfor tillater pythagorasetningen oss å vite at d er beregnet: d = sqrt (h ^ 2 + x ^ 2) Vi er interessert i situasjonen når d = 2mi, og siden flyet flyr ho Les mer »

La oss finne grenser ved uendelig. lim_ {x til + infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} ved å dele telleren og nevneren med 2 x, = lim_ {x til + infty} {5/2 ^ x + 1 } / {1/2 ^ x-1} = {0 + 1} / {0-1} = - 1 og lim_ {x til -infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} = {5 + 0} / {1-0} = 5 Derfor er dens horisontale asymptoter y = -1 og y = 5 De ser slik ut: Les mer »

(+ -2, 21/3). Se den sokratiske grafen for disse stedene. f '' = x ^ 2-4 = 0, ved x = + - 2, og her f '' '= 2x = + - 4 ne = 0. Så, POI er (+ -2, 21/3). Grafen {(1/12 x ^ 4-2x ^ 2 + 15-y) ((x + 2) ^ 2 + (y-23/3) ^ 2-.1) ((X-2) ^ 2 + (y -23/3) ^ 2-l) = 0x ^ 2 [-40, 40, -20, 20]} Les mer »

Se nedenfor. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) og k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) men k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) og k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) så k ^ 6 -2 ^ 6 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) eller {(k + 2 = 0) 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} så til slutt reelle verdier k = {-2,2} komplekse verdier k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} Les mer »

Les mer »

Vi har: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Trinn 1 - Finn de delvise derivatene Vi beregner det partielle derivatet av en funksjon av to eller flere variabler ved å differensiere wrt en variabel, mens de andre variablene behandles som konstant. Således: De første derivatene er: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1 x ^ 2 xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x Les mer »

Dy / dx = (xcos (x) + sin (x) - 1) / (x + cos (x)) ^ 2 "Først, la oss tilbakekalle kvotientregel:" qquad qquad qquad qquad qquad [f (x) / g (x)] ^ '= = {g (x) f' (x) - f (x) g '(x)} / {g (x) ^ 2} quad. "Vi får funksjonen til å differensiere:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = {2 + sinx} / {x + cosx} quad. Bruk kvotientregelen til å utlede følgende: y '= {[(x + cosx) (2 + sinx)'] - [(2 + sinx) (x + cosx) ']} (x + cosx) ^ 2 y '= {[(x + cosx) (cosx)] - [(2 + sinx) (1 -sinx)]} / (x + cos x) ^ 2 multiplisere telleren ut får du dette: y' = {x Les mer »

Parametriske ligninger er nyttige når en stilling av en gjenstand er beskrevet i form av tid t. La oss se på et par eksempler. Eksempel 1 (2-D) Hvis en partikkel beveger seg langs en sirkelbane med radius r sentrert ved (x_0, y_0), kan dens posisjon ved tid t beskrives ved parametriske ligninger som: {(x (t) = x_0 + rcost ), (y (t) = y_0 + rsint):} Eksempel 2 (3-D) Hvis en partikkel stiger langs en spiralbane med radius r senteret langs z-aksen, kan dens posisjon ved tid t beskrives ved parametrisk ligninger som: {(x (t) = rcost), (y (t) = rsint), (z (t) = t):} Parametriske ligninger er nyttige i disse eksemplene Les mer »

Nyttige anvendelser innen fysikk og ingeniørfag. Fra en fysikers synspunkt er polarkoordinater (r og theta) nyttige ved beregning av bevegelsesligningene fra mange mekaniske systemer. Ofte har du objekter som beveger seg i sirkler, og deres dynamikk kan bestemmes ved hjelp av teknikker som kalles Lagrangian og Hamiltonian av et system. Bruk av polære koordinater til fordel for kartesiske koordinater vil forenkle tingene veldig bra. Dermed vil dine avledede ligninger være ryddige og forståelige. Foruten mekaniske systemer kan du bruke polære koordinater og utvide den til en 3D (sfæriske koordin Les mer »

En separerbar ligning ser vanligvis ut som: {dy} / {dx} = {g (x)} / {f (y)}. Ved å multiplisere med dx og ved f (y) for å skille x og y, er Rightarrow f (y) dy = g (x) dx Ved å integrere begge sider, Rightarrow int f (y) dy = int g (x) dx, noe som gir oss løsningen uttrykt implisitt: Rightarrow F (y) = G (x) + C, hvor F og G er antidivativer av henholdsvis f og g. For mer informasjon, vennligst se denne videoen: Les mer »

Grensen er 1. Lim_ (x -> 0) (3x) / (tan3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / ((sin3x) / (cos3x)) = Lim_ (x -> 0) (3xcos3x ) (3x) / (sin3x)) cos3x = Lim_ (x -> 0) farge > 0) cos3x = Lim_ (x -> 0) cos (3 * 0) = Cos (0) = 1 Husk at: Lim_ (x -> 0) farge (rød) (3x) / (sin3x)) = 1 og Lim_ (x -> 0) farge (rød) ((sin3x) / (3x)) = 1 Les mer »

Dy / dx = (e ^ y-ye ^ x) / (e ^ x-xe ^ y) Først tar vi d / dx av hvert begrep. d / dx [ye ^ x] = d / dx [xe ^ y] y / dx [exx] + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ yd / dx [ x] d ^ x + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ y Ved hjelp av kjedestyret vet vi at: d / dx = d / dy * dy / dx ye ^ x + dy / dxe ^ xd / dy [y] = dy / dxxd / dy [e ^ y] + e ^ y ye ^ x + dy / dxe ^ x = dy / dxxe ^ y + e ^ . dy / dxe ^ x-dy / dxxe ^ y = e ^ y-ye ^ x dy / dx (e ^ x-xe ^ y) = e ^ y-ye ^ x dy / dx = x) / (e ^ x-xe ^ y) Les mer »

Området er = (32/3) u ^ 2 og volumet er = (512 / 15pi) u ^ 3 Begynn med å finne avgrensningen med x-aksen y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 Derfor x = 0 og x = 4 Området er dA = ydx A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64 / 3 -0 = 32 / 3u ^ 2 Volumet er dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx = pi [16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) = pi (512/15) Les mer »

F x x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x (x) j (x), deretter f '(x) = g' (x) h (x) j (x) + g (x) h '(x) j (x) + g (x) h ) x (x) x (x) = x ^ 3 g '(x) = 3x ^ 2 h (x) = sqrt (x-2) = (x-2) ^ (1/2) h' ) = 1/2 * (x-2) ^ (- 1/2) * d / dx [x-2] farge (hvit) (h '(x)) = (x-2) ) / 2 * 1 farge (hvit) (h '(x)) = (x-2) ^ (- 1/2) / 2 farge (hvit) 2)) j (x) = sinx j '(x) = cosx f' (x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + x ^ 3 1 / (2sqrt (x-2)) sinx + x ^ 3sqrt (x-2) cosx f '(x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + (x ^ 3sinx) / (2sqrt (x-2)) + x ^ 3sqrt (x-2) cosx Les mer »

Økende For å finne ut om en funksjon f (x) øker eller dør ved et punkt f (a), tar vi derivatet f '(x) og finner f' (a) / Hvis f '(a)> 0 øker Hvis f '(a) = 0 er det en bøyning Hvis f' (a) <0 det faller f (x) = cosx + sinx f '(x) = - sinx + cosx f' (pi / 6) = cos (pi / 6) -in (pi / 6) = (- 1 + sqrt (3)) / 2 f '(pi / 6)> 0, så det øker ved f (pi / 6) Les mer »

På [0,3] er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 (ved x = 1). For å finne den absolutte ekstreme av en (kontinuerlig) funksjon i et lukket intervall, vet vi at ekstrema må forekomme ved enten crtical numre i intervallet eller i intervallets endepunkter. f (x) = x ^ 3-3x + 1 har derivat f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 er aldri udefinert og 3x ^ 2-3 = 0 ved x = + - 1. Siden -1 ikke er i intervallet [0,3], kasserer vi det. Det eneste kritiske tallet som skal vurderes er 1. f (0) = 1 f (1) = -1 og f (3) = 19. Så er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 x = 1). Les mer »

Det er ingen globale maksima. Den globale minima er -3 og forekommer ved x = 3.f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) ^ X = 1x '6 x x 1 x x 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x kritisk nummer. Endpoints: 1 & 4: x = 1 f (1): "udefinert" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritiske punkter: f ' = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Ved x = 3 f (3) = -3 Det er ingen globale maksima. Det er ingen globale minima er -3 og skjer ved x = 3. Les mer »

X = 0 er maksimum av funksjonen. F (x) = 1 / (1 + x²) La oss søke f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Så vi kan se at det er en unik løsning, f ' (0) = 0 Og også at denne løsningen maksimerer funksjonen, fordi lim_ (x til ± oo) f (x) = 0 og f (0) = 1 0 / her er vårt svar! Les mer »

Absolutt maks er ved f (.4636) ca 2.2361 Absolut min er ved f (pi / 2) = 1 f (x) = 2cosx + sinx Finn f '(x) ved å differensiere f (x) f' (x) = - 2sinx + cosx Finn noen relativ ekstrem ved å sette f '(x) lik 0: 0 = -2sinx + cosx 2sinx = cosx På det angitte intervallet er det eneste stedet som f' (x) endrer skiltet (ved hjelp av en kalkulator) på x = .4636476 Prøv nå x-verdiene ved å koble dem til f (x), og ikke glem å inkludere grensene x = 0 og x = pi / 2 f (0) = 2 farge (blå) (f (. 4636) ca 2.236068) farge (rød) (f (pi / 2) = 1) Det absolutte maksimumet av Les mer »

-3 (forekommer ved x = -3) og -28 (forekommer ved x = -2) Absolutt ekstrem av et lukket intervall opptrer ved intervallets endepunkter eller ved f '(x) = 0. Det betyr at vi må sette avledet lik 0 og se hvilke x-verdier som får oss, og vi må bruke x = -3 og x = -1 (fordi disse er sluttpunktene). Så begynner med å ta derivatet: f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 f '(x) = 4x ^ 3-16x Sette det lik 0 og løse: 0 = 4x ^ 3-16x 0 = x ^ 3-4x 0 = x (x ^ 2-4) x = 0 og x ^ 2-4 = 0 Således er løsningene 0,2 og -2. Vi blir umiddelbart kvitt 0 og 2 fordi de ikke er i intervallet [-3, -1], og gir kun x Les mer »

6 og -2 Absolutt extrema (min og maksimum verdier av en funksjon over et intervall) kan bli funnet ved å evaluere intervallets endepunkter og poengene der derivatet av funksjonen er 0. Vi begynner med å evaluere endepoengene til intervallet; i vårt tilfelle betyr det å finne f (0) og f (4): f (0) = 2 (0) ^ 2-8 (0) + 6 = 6f (4) = 2 (4) ^ 2-8 (4) + 6 = 6 Legg merke til at f (0) = f (4) = 6. Deretter finner du derivatet: f '(x) = 4x-8-> bruker kraftregelen og finn de kritiske punktene; dvs. de verdiene som f '(x) = 0: 0 = 4x-8 x = 2 Vurder de kritiske punktene (vi har bare en, x = 2): f (2) = 2 Les mer »

F (x) har et absolutt minimum på 2 ved x = 0 f (x) = 2 + x ^ 2 f (x) er en parabola med et enkelt absolutt minimum der f '(x) = 0 f' 0 + 2x = 0 -> x = 0: .f_min (x) = f (0) = 2 Dette kan ses på grafen av f (x) nedenfor: graf {2 + x ^ 2 [-9,19, 8,59, -0,97, 7,926]} Les mer »

I [-8, 8] er absolutt minimum 0 ved O. x = + -8 er de vertikale asymptotene. Så det er ingen absolutt maksimum. Selvfølgelig, | f | til oo, som x til + -8. Den første er en samlet graf. Grafen er symmetrisk, omtrent O. Den andre er for de angitte grensene x i [-8, 8] graf {((2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) -y) (y-2x) = 0 [-160, 160, -80, 80]} graf {(2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) [-10, 10, -5, 5]} Ved faktisk divisjon, y = f x) = 2x +127/2 (1 / (x + 8) + 1 / (x-8)), avslørende skrå asymptoten y = 2x og de vertikale asymptotene x = + -8. Så det er ingen absolutt maksimum, som | y | til oo, som x til + -8. y  Les mer »

Absolutt max: (pi / 4, pi / 4) absolutt min: (0, 0) Gitt: f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x i [0, pi / 4] Finn første derivat ved hjelp av produktregelen to ganger . Produktregel: (uv) '= uv' + v u 'La u = 2x; "" u '= 2 La v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x f' (x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + ... For den andre halvdelen av ligningen: La u = x; "" u '= 1 La v = cos (2x); (xx) = cos (2x)) 2 = -2sin (2x) f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) ) Forenkle: f '(x) = avbryt (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x avbryt (-2x sin (2x)) Les mer »

Det absolutte maksimumet av f (x) er f (1) = 6 og absolutt minimum er f (0) = 0. For å finne den absolutte ekstremiteten til en funksjon, må vi finne sine kritiske punkter. Dette er poengene til en funksjon der dets derivat er null eller eksisterer ikke. Derivatet av funksjonen er f '(x) = 3x ^ (- 2/3) -3. Denne funksjonen (derivatet) finnes overalt. La oss finne hvor det er null: 0 = 3x ^ (- 2/3) -3rarr3 = 3x ^ (- 2/3) rarrx ^ (- 2/3) = 1rarrx = 1 Vi må også vurdere funksjonens endepoeng når man ser etter absolutt ekstrem: så er de tre mulighetene for extrema f (1), f (0) og f (5). Beregn Les mer »