Vi har et halvt sylindertak med radius r og høyde r montert på toppen av fire rektangulære vegghøyder h. Vi har 200π m ^ 2 plastplater som skal brukes i konstruksjonen av denne strukturen. Hva er verdien av r som tillater maksimalt volum?

Svar:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Forklaring:

La meg omformulere spørsmålet som jeg forstår det.

Forutsatt at overflaten på dette objektet er # 200pi #, maksimere volumet.

Plan

Å vite overflaten, kan vi representere en høyde # H # som en funksjon av radius # R #, da kan vi representere volumet som en funksjon av bare én parameter - radius # R #.

Denne funksjonen må maksimeres med # R # som en parameter. Det gir verdien av # R #.

Overflaten inneholder:

4 vegger som danner en sideflate av en parallellpiped med en omkrets av en base # 6R # og høyde # H #, som har totalt areal på # 6RH #.

1 tak, halvparten av en sideflate av en sylinder med en radius # R # og høyde # R #, som har en del av #pi r ^ 2 #

2 sider av taket, halvcirkler av en radius # R #, totalt areal som er #pi r ^ 2 #.

Den resulterende totale overflateareal av en gjenstand er

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Å vite dette å være lik # 200pi #, kan vi uttrykke # H # i form av # R #:

# 6RH + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Volumet av dette objektet har to deler: Under taket og inne i taket.

Under taket har vi en parallellpiped med et område av basen # 2r ^ 2 # og høyde # H #, det er dens volum er

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2/3pir ^ 3 #

Innenfor taket har vi en halv sylinder med radius # R # og høyde # R #, dens volum er

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Vi må maksimere funksjonen

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2/3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200/3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

som ser slik ut (ikke å skalere)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Denne funksjonen når sitt maksimum når den er avledet tilsvarer null for et positivt argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

I området av #R> 0 # det er lik null når # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Det er radiusen som gir det største volumet, gitt overflaten og en form av en gjenstand.