Spørsmål # bfe81

Spørsmål # bfe81
Anonim

Svar:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / NX ^ (2-n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

Forklaring:

Vi kjenner følgende Maclaurin-serien for #ln (x + 1) #:

#ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / NX ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

Vi kan finne en serie for #ln (x ^ 2 + 1) # ved å erstatte alle # X #er med # X ^ 2 #:

#ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Nå kan vi bare dele med # X ^ 2 # for å finne serien vi leter etter:

# (Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / NX ^ (2n) = #

# = Sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / NX ^ (2-n-2) = #

# = X ^ (2-2) -X ^ (2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2-2) / 4 … = #

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ av 4/3-x ^ 6/4 … #

som er serien vi leter etter.