Spørsmål # 69feb

Svar:

Normal linje: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangent linje: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Forklaring:

For intuisjon: Forestill deg at funksjonen #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # beskriver høyden på noe terreng, hvor # X # og # Y # er koordinater i flyet og #ln (y) # antas å være den naturlige logaritmen. Så alt # (X, y) # slik at #f (x, y) = a # (høyden) tilsvarer noen konstant #en# kalles nivåkurver. I vårt tilfelle den konstante høyden #en# er null siden #f (x, y) = 0 #.

Du kan være kjent med topografiske kart, der de lukkede linjene indikerer linjer med samme høyde.

Nå gradienten #delte f (x, y) = ((delvis f) / (delvis x), (delvis f) / (delvis x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # gir oss retningen på et punkt # (X, y) # i hvilken #f (x, y) # (høyden) endrer den raskeste. Dette er enten rett opp eller rett nedover bakken, så lenge terrenget er jevnt (differensierbart), og vi er ikke på topp, i bunn eller på platå (et ekstrempunkt). Dette er faktisk den normale retningen til en kurve med konstant høyde, slik at ved # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2-2) = (e ^ 2, -1).

derfor normal linje i den retningen går gjennom # (2, e ^ 2) # kan beskrives som

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, hvor #s i mathbbR # er en ekte parameter. Du kan eliminere # S # å uttrykke # Y # som en funksjon av # X # hvis du foretrekker å finne

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Retningsderivatet i tangentretningen må være #0# (som betyr at høyden ikke endres), så en tangentvektor # (U, v) # må tilfredsstille

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, hvor # Cdot # betyr prikkproduktet. Så # (u, v) = (1, e ^ 2) # er ett gyldig valg. derfor tangent linje går gjennom # (2, e ^ 2) # kan beskrives som

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t i mathbbR #.

Løsning for # Y # gir det

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Du bør endelig sjekke det # (2, e ^ 2) # ligger på kurven #f (x, y) #, på tangentlinjen og på den normale linjen.