Hva er asymptotene til y = 4 / (x-1) og hvordan graver du funksjonen?

Svar:

Horisontal asymptote: # Y = 0 #

Vertikal asymptote: # X = 1 #

Se grafen til # Y = 1 / x # når du graver # Y = 4 / (x-1) # kan hjelpe deg med å få en ide om formen på denne funksjonen.

graf {4 / (x-1) -10, 10, -5, 5}

Forklaring:

asymptoter

Finn vertikal asymptote av denne rasjonelle funksjonen ved å sette sin nevner til #0# og løse for # X #.

La # x-1 = 0 #

# X = 1 #

Det betyr at det er en vertikal asymptote som går gjennom punktet #(1,0)#.

* FYI du kan sørge for at # X = 1 # gir en vertikal asymptote i stedet for et flyttbart punkt av diskontinuitet ved å evaluere telleruttrykket på # X = 1 #. Du kan bekrefte vertikal asymptoten hvis resultatet er en null-verdi. Men hvis du ender med en null, må du forenkle funksjonsuttrykket, for eksempel fjerne den aktuelle faktoren # (X-1) #, og gjenta disse trinnene. *

Du kan finne horisontal asymptote (a.k.a "end behavior") ved å evaluere #lim_ {x til infty} 4 / (x-1) # og #lim_ {x til -infty} 4 / (x-1) #.

Hvis du ikke har lært grenser ennå, kan du fortsatt finne asymptoten ved å plugge inn store verdier av # X # (for eksempel ved å evaluere funksjonen ved # X = 11 #, # X = 101 #, og # X = 1001 #.) Du vil sannsynligvis finne det som verdien av # X # øke mot positiv uendelighet, verdien av # Y # komme nærmere og nærmere - men aldri når #0#. Så er tilfellet som # X # nærmer seg negativ uendelighet.

Per definisjon ser vi at funksjonen har en horisontal asymptote på # Y = 0 #

Kurve

Du har kanskje funnet uttrykket for # Y = 1 / x #, den # X #-reciprocal funksjon som ligner på # Y = 4 / (x-1) #. Det er mulig å kartlegge sistnevnte basert på kunnskap om formen til den første.

Tenk på hvilken kombinasjon av transformasjoner (som strekker og skifter) vil konvertere den første funksjonen vi sannsynligvis er kjent med, til den aktuelle funksjonen.

Vi begynner med å konvertere

# Y = 1 / x # til # Y = 1 / (x-1) #

ved å flytte grafen til den første funksjonen til Ikke sant av #1# enhet. Algebraisk, den transformasjonen ligner erstatning # X # i den opprinnelige funksjonen med uttrykket # x-1 #.

Endelig strekker vi vertikalt funksjonen # Y = 1 / (x-1) # med en faktor på #4# for å oppnå funksjonen vi leter etter, # Y = 4 / (x-1) #. (For rasjonelle funksjoner med horisontale asymptoter vil strekket effektivt skifte funksjonen utover.)