Bruk a) og b) for å bevise hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Uansett hva du sier der oppe, ser alt ut som om vi skal gjøre, for å vise det #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Ser ut som hvor du fikk dette spørsmålet, er forvirret om definisjonen av # HatT_L #.

Vi vil ende opp med å bevise at vi bruker

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

gir

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

og ikke #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Hvis vi vil at alt skal være konsistent, så hvis #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, det må være det # hatD, hatx = bb (-1) #. Jeg har løst spørsmålet og adressert det allerede.

Fra del 1 hadde vi vist at for denne definisjonen (det #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Siden #f (x_0 - L) # er en egen status av # HatT_L #, den umiddelbare formen som kommer til å tenke på er en eksponentiell operatør # E ^ (LhatD) #. Vi intuit det #hatD = + ihatp_x // ℏ #, og vi viser at det er sant.

Husk at i beviset vist i del 1, hadde vi skrevet:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

og det er her vi måtte bruke den. Alt vi trenger å gjøre er Taylor utvide seg den eksponentielle operatøren og viser at det ovennevnte beviset fortsatt inneholder.

Dette er også vist i detalj her. Jeg utvidet det til å være mer grundig …

(n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (n = 0 hatD) ^ n #

Gi det # L # er en konstant, kan vi faktor det ut av kommutatoren. # Hatx # kan gå inn, ikke være indeksavhengig. Derfor:

# hatx, e ^ (LhatD) sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Nå har vi foreslått det #hatD = ihatp_x // ℏ #, og det ville være fornuftig fordi vi vet at:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = avbryt (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

så det # hatx, hatp_x = iℏ #. Det ville bety at så lenge som #hatT_L = e ^ (LhatD) #, kan vi endelig få en konsekvent definisjon på tvers av begge deler av problemet og få:

#color (blå) (hatD "," hatx ") = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = farge (blå) (1) #

Fra dette utvider vi videre kommutatoren:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((IL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Nå vet vi # hatx, hatp_x #, men ikke nødvendigvis # hatx, hatp_x ^ n #. Du kan overbevise deg selv om det

(dx ^ n) + (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

og det

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-i)) d / (dx) ^ n = (-i) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

så det:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# x x (x) x (x) x (x) x (x)

(dx ^ n) - (-i) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

(n-1) (-i) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)))

(n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Vi gjenkjenner det # hatp_x ^ (n-1) = (-i) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Og dermed,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, sørget for #n> = 1 #.

Fra dette finner vi:

# hatx ',' e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((IL) / (ℏ)) ^ n i nhatp_x ^ (n-1)} #

hvor hvis du vurderer #n = 0 # Term, bør du se at det går til null, så vi utelatt det. Vi har:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# (iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

Her prøver vi bare å gjøre dette ser ut som den eksponensielle funksjonen igjen.

(n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(gruppevilkår)

(N-1) / ((n-1)

(evaluer utsiden)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(hvis # N # starter ved null, den # (N-1) #sikt blir den # N #th term.)

Som et resultat får vi endelig:

# => farge (blå) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = farge (blå) (- LhatT_L) #

Og vi kommer igjen til den opprinnelige kommutatoren, det vil si det

# hatx, hatT_L = -LhatT_L farge (blå) (sqrt "") #

Til slutt, la oss vise det # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD

# (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n / / !)) #

Skrive dette ut eksplisitt, så kan vi se det fungere:

# = farge (blå) (hatT_L "," hatD ") = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

(LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = (LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = farge (blå) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD)) #

og siden # HatD # pendler alltid med seg selv, # hatD ^ n, hatD = 0 # og derfor,

# hatT_L, hatD = 0 # #COLOR (blå) (sqrt "") #