Vann lekker ut på et gulv danner et sirkulært basseng. Radius av bassenget øker med en hastighet på 4 cm / min. Hvor fort er bassengets område økende når radiusen er 5 cm?

Svar:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Forklaring:

Først bør vi begynne med en ligning vi vet om området rundt en sirkel, bassenget og dets radius:

# A = pir ^ 2 #

Men vi ønsker å se hvor fort bassengområdet er økende, noe som høres mye ut som hastighet … noe som høres mye ut som et derivat.

Hvis vi tar derivatet av # A = pir ^ 2 # med hensyn til tid, # T #, vi ser det:

# (DA) / dt = pi * 2R * (DR) / dt #

(Ikke glem at kjedelinjen gjelder på høyre side, med # R ^ 2 #- dette ligner på implisitt differensiering.)

Så, vi vil bestemme # (DA) / dt #. Spørsmålet fortalte oss det # (DR) / dt = 4 # da det sa "radius av bassenget øker med en hastighet på #4# cm / min, "og vi vet også at vi vil finne # (DA) / dt # når # R = 5 #. Plugging disse verdiene inn, vi ser det:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Å si dette til ord, sier vi det:

Arealet av bassenget øker med en hastighet på # Bb40pi # cm# "" ^ BB2 #/ min når sirkelens radius er # BB5 # cm.

Dyrehagen har to vanntanker som lekker. En vanntank inneholder 12 gal vann og lekker med en konstant hastighet på 3 g / time. Den andre inneholder 20 gal vann og lekker med en konstant hastighet på 5 g / time. Når vil begge tankene ha samme mengde?

4 timer. Første tank har 12g og mister 3g / hr Andre tank har 20g og mister 5g / hr Hvis vi representerer tiden ved t, kan vi skrive dette som en ligning: 12-3t = 20-5t Løsning for t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 timer. På dette tidspunktet vil begge tankene ha tømt samtidig.

Vann lekker ut av en invertert konisk tank med en hastighet på 10.000 cm3 / min samtidig som vann pumpes inn i tanken i konstant hastighet Hvis tanken har en høyde på 6m og diameteren på toppen er 4m og Hvis vannstanden stiger med en hastighet på 20 cm / min når vannhøyden er 2m, hvordan finner du hastigheten som vannet pumpes inn i tanken?

La V være volumet av vann i tanken, i cm ^ 3; la h være dybden / høyden på vannet, i cm; og la r være radius av overflaten av vannet (på toppen), i cm. Siden tanken er en invertert kjegle, så er også massen av vann. Siden tanken har en høyde på 6 m og en radius på toppen av 2 m, betyr lignende trekanter at frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 slik at h = 3r. Volumet av den inverterte kjegle av vann er da V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Differensier nå begge sider med hensyn til tiden t (i minutter) for å få frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac

Oljeutslipp fra et bristet tankespred i en sirkel på overflaten av havet. Arealet av utslippet øker med en hastighet på 9π m² / min. Hvor fort er spillets radius økende når radiusen er 10 m?

Dr | _ (R = 10) = 0,45 m // min. Siden området av en sirkel er A = pi r ^ 2, kan vi ta differensialet på hver side for å oppnå: dA = 2pirdr Derfor endrer radiusen med frekvensen dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Således dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45m // min.