Hvordan integrerer du int sec ^ -1x ved å integrere etter delmetode?

Svar:

Svaret er # = X "bue" secx-ln (x + SQRT (x ^ 2-1)) + C #

Forklaring:

Vi trenger

# (Sek ^ -1x) '= ("ARC" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrasjon av deler er

# Intu'v = uv-intuv '#

Her har vi

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "bue" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Derfor, # int "bue" secxdx = x "bue" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Utfør det andre integralet ved substitusjon

La # X = sik #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sek ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (sik (sik + tanu) du) / (sik + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + sekutanu) du) / (secu + tanu) #

La # V = sik + tanu #, #=>#, # Dv = (sek ^ 2u + secutanu) du #

Så, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = LNV #

# = Ln (sik + tanu) #

# = Ln (x + SQRT (x ^ 2-1)) #

Endelig, # int "bue" secxdx = x "bue" secx-ln (x + SQRT (x ^ 2-1)) + C #

Svar:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Forklaring:

Alternativt kan vi bruke en lite kjent formel for å utarbeide integraler av inverse funksjoner. Formelen sier:

(x) ^ x (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

hvor # F ^ -1 (x) # er omvendt av #f (x) # og #F (x) # er anti-derivatet av #f (x) #.

I vårt tilfelle får vi:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Nå er alt vi trenger for å trene, det anti-derivatet # F #, som er den kjente sekant integrert:

#int sec (x) dx = ln | sek (x) + tan (x) | + C #

Plugging dette tilbake i formelen gir vårt endelige svar:

(x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Vi må være forsiktige med å forenkle #tan (sek ^ -1 (x)) # til #sqrt (x ^ 2-1) # fordi identiteten er bare gyldig hvis # X # er positiv. Vi er heldige, fordi vi kan fikse dette ved å sette en absolutt verdi på den andre termen inne i logaritmen. Dette fjerner også behovet for den første absolutte verdien, siden alt inne i logaritmen alltid vil være positivt:

# Xsec ^ -1 (x) -lN (| x | + SQRT (x ^ 2-1)) + C #