Hvordan finner du en lineær tilnærming til rot (4) (84)?

Svar:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Forklaring:

Noter det #3^4 = 81#, som ligger nært #84#.

Så #root (4) (84) # er litt større enn #3#.

For å få en bedre tilnærming, kan vi bruke en lineær tilnærming, a.c.a. Newtons metode.

Definere:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Deretter:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

og gitt en omtrentlig null # x = a # av #f (x) #, en bedre tilnærming er:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Så i vårt tilfelle, sette # A = 3 #, en bedre tilnærming er:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3-4-484) / (4 (3) 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

Dette er nesten nøyaktig #4# betydelige tall, men la oss sitere tilnærmingen som #3.03#

Svar:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

Forklaring:

Legg merke til at den lineære tilnærming nær et punkt #en# kan gis av:

#f (x) ~~f (a) + f '(a) (x-a) #

Hvis gitt: #f (x) = rot (4) (x) #

så et passende valg for #en# ville vært # A = 81 # fordi vi vet det #root (4) 81 = 3 # akkurat og det er nært #84#.

Så:

#f (a) = f (81) = rot (4) (81) = 3 #

Også;

#f (x) = x ^ (1/4) # så #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Derfor kan vi omtrentlig (nær #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Så:

#root (4) (84) 3 = 1/108 (84 til 81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Jo mer nøyaktige verdien er #3.02740#

så den lineære tilnærmingen er ganske tett.

Svar:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Forklaring:

Vi kan si at vi har en funksjon av #f (x) = rot (4) (x) #

og # rot (4) (84) = f (84) #

Nå, la oss finne avledet av vår funksjon.

Vi bruker kraftregelen, som sier at hvis #f (x) = x ^ n #, deretter #f '(x) = nx ^ (n-1) # hvor # N # er en konstant.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Nå, til omtrentlig # root (4) (84) #, vi prøver å finne den perfekte fjerde kraften nærmest 84

La oss se…

#1#

#16#

#81#

#256#

Vi ser det #81# er vår nærmeste.

Vi finner nå tangentlinjen til vår funksjon når # X = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 x 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 x 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Dette er skråningen vi leter etter.

La oss prøve å skrive ligningen på tangentlinjen i skjemaet # Y = mx + b #

Vel, hva er det # Y # lik når # X = 81 #?

La oss se…

#f (81) = rot (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Derfor har vi nå:

# 3 = M81 + b # Vi vet at skråningen, # M #, er #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Vi kan nå løse for # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Derfor er ligningen av tangentlinjen # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Vi bruker nå 84 i stedet for # X #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Derfor, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #