Anta at jeg ikke har en formel for g (x), men jeg vet at g (1) = 3 og g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) for alle x. Hvordan bruker jeg en lineær tilnærming til å estimere g (0.9) og g (1.1)?

Bær med meg litt, men det innebærer hellingsavstandsligningen for en linje basert på 1. derivat … Og jeg vil gjerne lede deg på vei til gjøre svaret, ikke bare gi du svaret …

Ok, før jeg kommer til svaret, vil jeg gi deg inn på den (noe) humoristiske diskusjonen min kontorkammerat, og jeg hadde bare …

Me: "Okay, waitasec … Du vet ikke g (x), men du vet at derivatet er sant for alle (x) … Hvorfor vil du gjøre en lineær tolkning basert på derivatet? Bare ta integralet av derivatet, og du har den opprinnelige formelen … ikke sant?"

OM: "Vent, hva?" han leser spørsmålet ovenfor "Hellige moly, jeg har ikke gjort dette i år!"

Så dette fører til en diskusjon mellom oss om hvordan vi skal integrere dette, men hva professoren virkelig ønsker (sannsynligvis), er ikke å få deg til å gjøre omvendt operasjon (som i noen tilfeller kan være egentlig HARD), men å forstå hva det første derivatet er faktisk.

Så vi riper på hodene våre og glødde gjennom våre kollektive aldersmengder, og til slutt enige om at 2. derivatet er de lokale maksima / minima, og den første derivaten (den du bryr deg om) er den skråningen av kurven på det oppgitte punktet.

Vel, hva har dette å gjøre med prisen på ormer i Mexico? Vel, hvis vi antar at skråningen forblir relativt konstant for alle "nærliggende" poeng (for å vite dette, må du se på kurven og bruke god vurdering basert på hva du vet om ting - men siden dette er hva profeten din har ønsker, dette er det han får!), så kan vi gjøre en lineær interpolering - som er akkurat det du ba om!

Ok, da - kjøttet i svaret:

Hellingen (m) av funksjonen til vår kjente verdi er:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Derfor er hellingen ved ut kjent punkt (x = 1):

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Husk da at formelen for en linje (nødvendig for lineær interpolering) er:

# Y = mx + b #

Dette betyr at for poeng "lukk" til vår kjente verdi, kan vi omtrentliggjøre verdiene som på en linje med helling m og y-avgrensning b. eller:

#G (x) = mx + b #

#G (x) = 4x + b #

Så da, hva er det? # B #?

Vi løser for dette ved hjelp av vår kjente verdi:

#G (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# B = -1 #

Nå vet vi formelen for linjen som tilnærmer vår kurve på det kjente punktet:

g (x#~=#1) = 4x-1

Så, nei, vi setter inn våre tilnærmingspunkter for å få omtrentlig verdi, eller:

#G (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#G (0,9) ~ = 3,6 til 1 #

#G (0,9) ~ = 2,6 #

og

#G (1,1) ~ = 4 (1,1) -1 #

#G (1,1) ~ = 4,4 til 1 #

#G (1,1) ~ = 3.4 #

Enkelt, ikke sant?