Hvordan finner du grensen for (arctan (x)) / (5x) når x nærmer seg 0?

Svar:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Forklaring:

For å finne denne grensen, merk at både teller og nevner går til #0# som # X # tilnærminger #0#. Dette betyr at vi får en ubestemt form, slik at vi kan anvende L'Hospital's regel.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Ved å anvende L'Hospital's regel, tar vi avledet av telleren og nevnen, og gir oss

# lx (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Vi kan også sjekke dette ved å tegne funksjonen, for å få en ide om hva # X # tilnærminger.

Graf av #arctan x / (5x) #:

graf {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Svar:

En lengre tilnærming med trig er forklart nedenfor.

Forklaring:

Bare hvis du ikke er komfortabel med L'Hopital's Rule, eller ikke har blitt utsatt for det, innebærer en annen tilnærming til å løse problemet å bruke definisjonen av arctangent-funksjonen.

Husk at hvis # Tantheta = x #, deretter # Theta = arctanx #; dette innebærer i hovedsak at arctangent er omvendt av tangent. Ved hjelp av denne informasjonen kan vi konstruere en trekant hvor # Tantheta = x # og # Theta = arctanx #:

Fra diagrammet er det klart at # Tantheta = x / 1 = x #. Siden # Tantheta = sintheta / costheta #, kan vi uttrykke dette som:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Bruk dette pluss det faktum at # Theta = arctanx #, kan vi gjøre erstatninger i grensen:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Dette tilsvarer:

#lim_ (theta-> 0) 1 Avstander / 5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Vi vet det #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; så #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # eller #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Og siden # Cos0 = 1 #, vurderer grensen til:

1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#