Er det noe poeng (x, y) på kurven y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, hvor tangenten er parallell med x-aksen?

Svar:

Det er ikke noe slikt, så langt min matte går.

Forklaring:

Først, la oss vurdere betingelsene for tangenten hvis den er parallell med # X #-akser. Siden # X #-aks er horisontal, hvilken som helst linje parallell med den må også være horisontal; så følger det at tangentlinjen er horisontal. Og selvfølgelig skjer horisontale tangenter når derivatet er lik #0#.

Derfor må vi først begynne å finne derivatet av denne monstrøse ligningen, som kan oppnås gjennom implisitt differensiering:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) lnx #

Ved hjelp av sumregeln, kjederegel, produktregel, kvotientregel og algebra, har vi:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1 + (X'Y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … det var intenst. Nå setter vi derivatet lik #0# og se hva som skjer.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -Ylnx-y = lnx + 1 #

# -Y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#Y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#Y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# Y = -1 #

Interessant. La oss nå plugge inn # Y = -1 # og se hva vi får for # X #:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Siden dette er en motsetning, konkluderer vi at det ikke er noen poeng som oppfyller denne tilstanden.

Svar:

Det eksisterer ikke et slikt tangent.

Forklaring:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) ekviv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Nå ringer #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # vi har

#df = f_x dx + f_y dy = (delvis u) / (delvis x) dx + (delvis v) / (delvis y) dy = 0 # deretter

(d) = (x) x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e y)) #

Vi ser det # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # men disse verdiene må verifisere:

#f (x, y_0) = 0 # og

#f (x_0, y) = 0 #

I det første tilfellet, # y_0 = 1 # vi har

# x ^ x = -1 # som ikke er oppnåelig i det virkelige domenet.

I andre tilfelle, # x_0 = e ^ {- 1} # vi har

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # eller

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

men

# y / (y + 1) log_e y> -1 # så ingen ekte løsning også.

Avslutningsvis er det ikke en slik tangent.

Svar:

Svaret fra Dr, Cawa K, x = 1 / e, er presis.

Forklaring:

Jeg hadde foreslått dette spørsmålet for å få denne verdien nøyaktig. Takk til

Dr, Cawas for et avgjørende svar som godkjenner åpenbaringen som

Dobbeltsyntheten y 'forblir 0 rundt dette intervallet. y er

kontinuerlig og differensierbar ved x = 1 / e. Som begge 17-sd dobbelt

presisjon y og y 'er 0, i dette intervallet rundt x = 1 / e, var det a

formodning om at x-akse berører grafen i mellom. Og nå er det

bevist. Jeg tror at kontakten er transcendentalt..