Hvordan bruker du Integral Test for å bestemme konvergens eller divergens av serien: sum n e ^ -n fra n = 1 til uendelig?

Svar:

Ta integralet # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, som er begrenset, og merk at det grenser #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Derfor er det konvergent, så #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # er også bra.

Forklaring:

Den formelle uttalelsen av integralprøven sier at hvis #fin 0, oo) rightarrowRR # en monotisk avtagende funksjon som ikke er negativ. Så summen #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # er konvergent hvis og bare hvis # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, andre utgave. Hindustan bokbyrå. 2009).

Denne utsagnet kan virke litt teknisk, men ideen er følgende. Ta i dette tilfellet funksjonen #f (x) = xe ^ (- x) #, vi merker det for #X> 1 #, denne funksjonen minker. Vi kan se dette ved å ta derivatet. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, siden #X> 1 #, så # (1-x) <0 # og #E ^ (- x)> 0 #.

På grunn av dette bemerker vi det for alle #ninNN _ (> = 2) # og #x i 1, oo) # slik at #X <= n # vi har #f (x)> = f (n) #. Derfor #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, så #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# Int_1 ^ OOF (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ OOE ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # bruker integrasjon av deler og det #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Siden #f (x)> = 0 #, vi har # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, så #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e 3 / e #. Siden #f (n)> = 0 #, seriene #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # øker som # N # øker. Siden det er begrenset av # 3 / e #, det må konvergere. Derfor #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konvergerer.

Kay bruker 250 min / wk trening. Hennes forhold av tid brukt på aerobic til tid brukt på vekt trening er 3 til 2. Hvor mange minutter per uke bruker hun på aerobic? Hvor mange minutter per uke bruker hun på vekttrening?

Tid brukt på aerobic = 150 min Tid brukt på wt trening = 100 min. Aerobic: Vekt trening = 3: 2 Tid brukt på aerobic = (3/5) * 250 = 150 min Tid brukt på wt trening = (2/5) * 250 = 100 min

Hvordan bestemme konvergens eller divergens av sekvensen an = ln (n ^ 2) / n?

Sekvensen konvergerer For å finne ut om sekvensen a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n konvergerer, observerer vi hva a_n er som n-> oo. (n-> oo) (2ln (n)) / n Bruk l'Hôpitals regel, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Siden lim_ (n-> oo) a_n er en endelig verdi, konvergerer sekvensen.

Hvordan finner jeg konvergensen eller divergensen i denne serien? summen fra 1 til uendelig på 1 / n ^ lnn

Konvergerer Vurder serien sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, hvor p> 1. Ved p-testen konvergerer denne serien. Nå, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p for alle store nok n så lenge p er en endelig verdi. Således, ved den direkte sammenligningstest, summerer sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n. Faktisk er verdien omtrent lik 2.2381813.