Hva er Infinity? + Eksempel

Svar:

Dette kan ikke besvares uten kontekst. Her er noen av bruken i matematikk.

Forklaring:

Et sett har uendelig kardinalitet hvis den kan kartlegges en-til-en på en riktig delmengde av seg selv. Dette er ikke bruk av uendelig i kalkulator.

I Calculus bruker vi "uendelig" på tre måter.

Intervallnotasjon:

Symbolene # Oo # (hhv # -Oo #) brukes til å indikere at et intervall ikke har et høyre (henholdsvis venstre) endepunkt.

Intervallet # (2, oo) # er det samme som settet # X #

Uendelige grenser

Hvis en grense ikke eksisterer fordi som # X # tilnærminger #en#, verdiene for #f (x) # øke uten bundet, så skriver vi #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Merk at setningen "uten bundet" er betydelig. Nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # øker, men begrenses over. (De kommer aldri til eller passerer #1#.)

Grenser ved uendelig

Uttrykket "grensen ved uendelighet" brukes til å indikere at vi har spurt hva som skjer med #f (x) # som # X # øker uten bundet.

Eksempler inkluderer

Grensen som # X # øker uten bundet av # X ^ 2 # eksisterer ikke fordi, som # X # øker uten bundet, # X ^ 2 # øker også uten bundet.

Dette er skrevet #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # og vi leser det ofte

"Grensen som # X # går til uendelig, av # X ^ 2 # er uendelig"

Grensen #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # indikerer at, som # X # øker uten bundet, # 1 / x # tilnærminger #0#.

Svar:

Det avhenger av konteksten …

Forklaring:

#bb + - # Uendelig og grenser

Vurder settet med ekte tall # RR #, ofte avbildet som en linje med negative tall til venstre og positive tall til høyre. Vi kan legge til to poeng kalt # + Oo # og # -Oo # Det fungerer ikke helt som tall, men har følgende eiendom:

#AA x i RR, -oo <x <+ oo #

Så kan vi skrive #lim_ (x -> + oo) # å bety grensen som # X # blir mer og mer positiv uten øvre grense og #lim_ (x -> - oo) # å bety grensen som # X # blir mer og mer negativ uten lavere bundet.

Vi kan også skrive uttrykk som:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… som betyr at verdien av # 1 / x # øker eller avtar uten bundet som # X # tilnærminger #0# fra "høyre" eller "venstre".

Så i disse sammenhenger # + - oo # er virkelig stenografi for å uttrykke forhold eller resultater av begrensende prosesser.

Uendelig som ferdigstillelse av # RR # eller # CC #

Den projiserende linjen # RR_oo # og Riemann sfæren # CC_oo # dannes ved å legge til et enkeltpunkt som kalles # Oo # til # RR # eller # CC # - "punktet ved uendelig".

Vi kan da forlenge definisjonen av funksjoner som #f (z) = (az + b) / (cz + d) # å være kontinuerlig og godt definert på hele # RR_oo # eller # CC_oo #. Disse Möbius-transformasjonene fungerer spesielt godt # C_oo #, der de kartler sirkler til sirkler.

Infinity in Set Theory

Størrelsen (Kardinalitet) av settet av heltall er uendelig, kjent som tellingenes uendelighet. Georg Cantor fant at antall reelle tall er strengt større enn denne telle uendelig. I settteori er det en hel overflod av uendelig økende størrelser.

Uendelig som et tall

Kan vi faktisk behandle uendelighet som tall? Ja, men ting fungerer ikke som du forventer hele tiden. For eksempel kan vi gjerne si # 1 / oo = 0 # og # 1/0 = oo #, men hva er verdien av # 0 * oo? #

Det er antall systemer som inkluderer uendelig og uendelig (uendelig små tall). Disse gir et intuitivt bilde av resultatene av grenseprosesser som differensiering og kan behandles grundig, men det er ganske mange fallgruver å unngå.