Svar:
Sekvensen konvergerer
Forklaring:
For å finne ut om sekvensen
Ved hjelp av l'Hôpitals regel,
Siden
Ved hjelp av definisjonen av konvergens, hvordan beviser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?
La: a_n = 5 + 1 / n da for noen m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gitt et ekte tall epsilon> 0, velg deretter et helt tall N> 1 / epsilon. For alle heltall m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon som viser Cauchys tilstand for konvergens av en sekvens.
Kan du finne grensen til sekvensen eller bestemme at grensen ikke eksisterer for sekvensen {n ^ 4 / (n ^ 5 + 1)}?
Sekvensen har den samme oppførselen som n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n når n er stor. Du bør manipulere uttrykket bare litt for å gjøre setningen ovenfor klar. Del alle ordene med n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Alle disse grensene eksisterer når n-> oo, så vi har: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, slik at sekvensen har en tendens til 0
Hvordan bruker du Integral Test for å bestemme konvergens eller divergens av serien: sum n e ^ -n fra n = 1 til uendelig?
Ta integralen int_1 ^ ooxe ^ -xdx, som er endelig, og merk at den grenser sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Derfor er det konvergent, så sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) er også. Den formelle setningen av integralprøven sier at hvis fin [0, oo) rightarrowRR en monoton reduksjon funksjon som ikke er negativ. Så sum summen (n = 0) ^ oof (n) er konvergent hvis og bare hvis "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, andre utgave. Hindustan bokbyrå. 2009). Denne utsagnet kan virke litt teknisk, men ideen er følgende. I dette tilfellet tar funksjonen f (x) = xe ^ (