Hvordan identifiserer du typen av konisk 4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4 er, hvis noen, og hvis ligningen representerer en konisk, angir dens toppunkt eller senter?

Svar:

En ellipse

Conics kan bli representert som

#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #

hvor #p = {x, y} # og

#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.

For conics #m_ {12} = m_ {21} # deretter # M # egenverdier er alltid virkelige fordi matrisen er symmetrisk.

Det karakteristiske polynomet er

#p (lambda) = lambda ^ 2- (M ^ {11} + M_ {22}) + lambda det (M) #

Avhengig av deres røtter kan konikken klassifiseres som

1) Like --- sirkel

2) Same tegn og forskjellige absolutte verdier --- ellipse

3) Tegn forskjellig --- hyperbola

4) En nullrot --- parabola

I det foreliggende tilfelle har vi

#M = ((4,0), (0,8)) #

med karakteristisk polynom

# Lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #

med røtter #{4,8}# så vi har en ellipse.

Å være en ellipse er det en kanonisk representasjon for det

# ((X-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #

# X_0, y_0, a, b # kan bestemmes som følger

# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 forall x i RR #

# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0) (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b2 2 = 0):} #

løse vi får

# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #

så

# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} ekviv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #