Hvordan integrere int x ^ lnx?

Svar:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Forklaring:

Vi begynner med en u-substitusjon med # U = ln (x) #. Vi deler deretter med derivatet av # U # å integrere med hensyn til # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Nå må vi løse for # X # i form av # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

(u ^ du * int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Du kan gjette at dette ikke har et elementært anti-derivat, og du ville ha rett. Vi kan imidlertid bruke skjemaet for den imaginære feilfunksjonen, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

For å få vårt integral i dette skjemaet, kan vi bare ha en kvadrert variabel i eksponenten til # E #, så vi må fullføre torget:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u 1/4 + k #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ (u + 1/2) ^ 2) du #

Nå kan vi introdusere en u-substitusjon med # T = u 1/2 #. Derivatet er bare #1#, så vi trenger ikke å gjøre noe spesielt å integrere med hensyn til # T #:

#t ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ 1/4) SQRTPI / 2 * Erfi (t) + C #

Nå kan vi angre alle erstatninger for å få:

#E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Hvordan integrerer du int sec ^ -1x ved å integrere etter delmetode?

Svaret er = x "bue" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Vi trenger (sec ^ -1x) '= ("bue" secx)' = 1 / (xsqrt 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integrering av deler er intu'v = uv-intuv 'Her har vi u' = 1, =>, u = xv = "bue "sekx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Derfor er int" bue "secxdx = x" bue "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Utfør det andre integralet ved substitusjon La x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (secu + tanu) du)

Hvordan integrere int e ^ x sinx cosx dx?

(2x) + C Først kan vi bruke identiteten: 2sinthetacostheta = sin2x som gir: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Nå kan vi bruke integrasjon av deler. Formelen er: int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Jeg vil la f (x) = synd 2x) og g '(x) = e ^ x / 2. Ved å bruke formelen får vi: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Nå kan vi søke integrering av deler igjen Denne gangen med f (x) = cos (2x) og g '(x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- 2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx =

Hvordan integrerer du int xsin (2x) ved å integrere etter delmetode?

= 1 / 4sin (2x) - x / 2cos (2x) + C For deg (x), v (x) int uv'dx = uv '- int u'vdx u (x) = x innebærer at du' = 1 v '(x) = sin (2x) betyr v (x) = -1 / 2cos (2x) intxsin (2x) dx = -x / 2cos (2x) + 1 / 2intcos (2x) dx = -x / 2cos (2x) + 1 / 4sin (2x) + C