Hvordan integrere int e ^ x sinx cosx dx?

Svar:

#int exxxxxxxxxxxxxXxXxXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Forklaring:

Først kan vi bruke identiteten:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

som gir:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Nå kan vi bruke integrasjon av deler. Formelen er:

(x) g (x) dx # (x) g (x) -int f '

Jeg vil la #f (x) = sin (2x) # og #G '(x) = e ^ x / 2 #. Ved å bruke formelen får vi:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Nå kan vi søke integrering av deler igjen, denne gangen med #f (x) = cos (2x) # og #G '(x) = e ^ x #:

(2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

(2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Nå har vi integralet på begge sider av likestillingen, så vi kan løse det som en ligning. Først legger vi til to ganger integralet til begge sider:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Siden vi ønsket en halv som koeffisienten på det opprinnelige integralet, deler vi begge sider av #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Svar:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Forklaring:

Vi søker:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Som bruker identiteten:

# synd 2x - = 2sinxcosx #

Vi kan skrive som:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Hvor det er fornuftig, betegner vi:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, og # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Nå utfører vi integrasjon av deler igjen.

La # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):}

Deretter kobler du til IBP-formelen får vi:

(xx) (xx) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Nå har vi to samtidige ligninger i to ukjente #ER#. og # I_C #, så erstatter B til A vi har:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# -1-2 xx cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Fører til:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #