Hva er den absolutte ekstreme av f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x i [0, pi / 4]?

Svar:

absolutt maks: # (pi / 4, pi / 4) #

absolutt min: #(0, 0)#

Forklaring:

gitt: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x i 0, pi / 4 #

Finn første derivat ved å bruke produktregelen to ganger.

Produktregel: # (uv) '= uv' + v u '#

La #u = 2x; "" u '= 2 #

La #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

For andre halvdel av ligningen:

La #u = x; "" u '= 1 #

La #v = cos (2x); "" v '= (- synd (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Forenkle:

#f '(x) = avbryt (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x avbryt (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Den pythagoranske identiteten # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Dette betyr at det ikke er noen kritiske verdier når #f '(x) = 0 #

Absolutt Maksimum og minimum vil bli funnet på slutten av funksjonsintervallet.

Test endepunkter av funksjonen:

#f (0) = 0; "Absolutt minimum:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4)

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2)

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Absolutt maksimum:" (pi / 4, pi / 4) #