Ved å bruke definisjonen av konvergens, hvordan beviser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Svar:

Bruk egenskapene til den eksponensielle funksjonen til å bestemme N slik som # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # for hver # m, n> N #

Forklaring:

Definisjonen av konvergens sier at # {A_n} # Konvergerer hvis:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Så gitt #epsilon> 0 # ta #N> log_2 (1 / epsilon) # og # m, n> N # med #m <n #

Som #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # så # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

2 - (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (m-n)) #

Nå som # 2 ^ x # er alltid positiv, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, så

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Og som # 2 ^ (- x) # er strengt avtagende og #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

2 - (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)

Men:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Så:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.e.d.