Hva er betydningen av delvis derivat? Gi et eksempel og hjelp meg til å forstå kortfattet.

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Jeg håper det hjelper.

Delvis derivat er iboende forbundet med totalvariasjonen.

Anta at vi har en funksjon #f (x, y) # og vi vil vite hvor mye det varierer når vi introduserer en økning til hver variabel.

Fastsette ideer, lage #f (x, y) = k x y # vi vil vite hvor mye det er

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

I vårt funksjonseksempel har vi

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

og så

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

velge #dx, dy # vilkårlig liten da #dx dy ca 0 # og så

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

men generelt

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) =

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy +

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy), y)) / dy dy #

nå gjør #dx, dy # vilkårlig liten vi har

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

slik at vi kan beregne totalvariasjonen for en gitt funksjon ved å beregne de delvise derivatene #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # og sammensetning

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Her, mengdene #f_ (x_i) # kalles delvise derivater og kan også bli representert som

# (delvis f) / (delvis x_i) #

I vårt eksempel

#f_x = (delvis f) / (delvis x) = k x # og

#f_y = (delvis f) / (delvis y) = k y #

MERK

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

(f, x + y) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

For å supplere Cesareos svar ovenfor vil jeg gi en mindre matematisk strenge innledende definisjon.

Delvis avledet, løst snakkes, forteller oss hvor mye en multi-variabel funksjon vil endre seg når andre variabler holdes konstant. Anta for eksempel at vi er gitt

#U (A, t) = A ^ 2t #

Hvor # U # er verktøyet (lykke) funksjon av et bestemt produkt, #EN# er mengden av produktet, og # T # er tiden produktet brukes til.

Anta at firmaet som produserer produktet, vil gjerne vite hvor mye mer verktøy de kan få ut av det hvis de øker levetiden til produktet med 1 enhet. Delvis avledet vil fortelle selskapet denne verdien.

Det delvise derivatet er generelt betegnet av det nederste greske brev deltaet (#delvis#), men det er andre merknader. Vi skal bruke #delvis# for nå.

Hvis vi prøver å finne ut hvor mye bruken av produktet endres med en enhetsøkning, beregner vi det delvise derivatet av verktøyet med tanke på tiden:

# (PartialU) / (partialt) #

For å beregne PD, vi holder andre variabler konstant. I dette tilfellet behandler vi # A ^ 2 #, den andre variabelen, som om det var et tall. Husk fra innledende kalkulator at derivatet av en konstant tid en variabel er bare konstanten. Det er den samme ideen her: den (delvise) avledet av # A ^ 2 #, en konstant, ganger # T #, variabelen, er bare konstant:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Dermed blir en 1-enhet økning i tiden produktet brukes til # A ^ 2 # mer nytte. Med andre ord blir produktet mer tilfredsstillende dersom det kan brukes oftere.

Det er mye mer å si om partielle derivater. Faktisk kan hele bachelor- og kandidatkursene brukes til å løse bare noen få typer likninger som involverer partielle derivater - men den grunnleggende ideen er at den delvise derivaten forteller oss hvor mye en Variabel endring når de andre forblir de samme.