Hva er extrema og sadelpunkter for f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Svar:

Forklaring:

Vi har:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Trinn 2 - Identifiser kritiske poeng

Et kritisk punkt oppstår ved en samtidig løsning av

# f_x = f_y = 0 iff (delvis f) / (delvis x) = (delvis f) / (delvis y) = 0 #

dvs. når:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Løsning av A og B samtidig gir vi en enkelt løsning:

# x = y = 1 #

Så vi kan konkludere med at det er en kritisk poeng:

# (1,1) #

Trinn 3 - Klassifiser de kritiske punktene

For å klassifisere de kritiske punktene utfører vi en test som ligner den for en variabel kalkulasjon ved hjelp av de andre partielle derivatene og Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (delvis ^ 2 f) / (delvis x 2), (delvis ^ 2 f) / (delvis x delvis y)), ((delvis ^ 2 f) /) / (delvis y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Deretter avhengig av verdien av # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Det er maksimum hvis" f_ (xx) <0), (, "og minst hvis" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "det er et salepunkt"), (Delta = 0, "Videre analyse er nødvendig"):} #

Ved hjelp av egendefinerte Excel-makroer, beregnes funksjonsverdiene sammen med de partielle derivatverdiene som følger: