Hvordan finner du antidivivative av (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Svar:

#arctan (e ^ x) + C #

Forklaring:

# "skriv" e ^ x "dx som" d (e ^ x) ", så får vi" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "med substitusjonen y =" e ^ x ", får vi" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "som er lik" # #

#arctan (y) + C #

# "Nå erstatt tilbake" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Svar:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Forklaring:

Vi ønsker å finne # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = INT1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

La nå # U = e ^ x # og så tar differansen på begge sider gir # Du = e ^ XDX #. Nå erstatter vi begge disse ligningene i integralet for å få

# INT1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Dette er et standardintegrert som evaluerer til # Arctanu #. Bytter tilbake for # X # vi får et siste svar:

#arctan e ^ x + "c" #

Svar:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Forklaring:

Først lar vi # U = 1 + e ^ (2x) #. Å integrere med hensyn til # U #, vi deler ved derivatet av # U #, som er # 2e ^ (2x) #:

(x) (x) (x) (x) (x) x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Å integrere med hensyn til # U #, vi trenger alt uttrykt i form av # U #, så vi må løse for hva # E ^ x # er i form av # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Nå kan vi plugge dette tilbake i integralet:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Neste vil vi introdusere en substitusjon med # Z = sqrt (u-1) #. Derivatet er:

# (Dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

så vi deler ved å integrere med hensyn til # Z # (husk at deling er den samme som multiplikasjon av gjensidige):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Nå har vi igjen en feil variabel, så vi må løse for hva # U # er lik i forhold til # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

Dette gir:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Dette er det vanlige avledet av # Tan ^ -1 (z) #, så får vi:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Å avbryte alle erstatninger, vi får:

# Tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Hvordan finner du antidivivative Cosx / Sin ^ 2x?

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C

Hvordan finner du antidivivative av f (x) = 8x ^ 3 + 5x ^ 2-9x + 3?

Som dette: Den anti-derivative eller primitive funksjonen oppnås ved å integrere funksjonen. En tommelfingerregel her er hvis du blir bedt om å finne den antiderivative / integrale av en funksjon som er polynom: Ta funksjonen og øk alle indeksene x med 1, og del deretter hvert term med deres nye indeks på x. Eller matematisk: int x ^ n = x ^ (n + 1) / (n + 1) (+ C) Du legger også til en konstant for funksjonen, selv om konstanten vil være vilkårlig i dette problemet. Nå, ved hjelp av vår regel kan vi finne den primitive funksjonen, F (x). F (x) = ((8x ^ (3 + 1)) / (3 + 1))

Hvordan finner du antidivivative av dx / (cos (x) - 1)?

Gjør noe konjugatmultiplikasjon, bruk noe trig og avslutt for å få et resultat av int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C Som med de fleste problemer av denne typen, løser vi det ved hjelp av et konjugatmultiplikasjonstrikk. Når du har noe delt med noe pluss / minus noe (som i 1 / (cosx-1)), er det alltid nyttig å prøve konjugatmultiplikasjon, spesielt med trigfunksjoner. Vi begynner med å multiplisere 1 / (cosx-1) med konjugatet til cosx-1, som er cosx + 1: 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) gjør dette. Det er slik at vi kan bruke forskjellen på kvadrategenskaper, (a-b) (