Hvordan finner du antidivivative av dx / (cos (x) - 1)?

Svar:

Gjør litt konjugatmultiplikasjon, bruk noe trig, og avslutt for å få et resultat av # INT1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Forklaring:

Som med de fleste problemer av denne typen, løser vi det ved hjelp av et konjugatmultiplikasjonstrykk. Når du har noe delt med noe pluss / minus noe (som i # 1 / (cosx-1) #), er det alltid nyttig å prøve konjugatmultiplikasjon, spesielt med trigfunksjoner.

Vi begynner med å multiplisere # 1 / (cosx-1) # av konjugatet av # Cosx-1 #, som er # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Du lurer kanskje på hvorfor vi gjør dette. Det er slik at vi kan bruke forskjellen på kvadrater eiendom, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, i nevneren, for å forenkle det litt. Tilbake til problemet:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (hvit) (III) acolor (hvit) (XXX) bcolor (hvit) (XXX) acolor (hvit) (XXX) b #

Legg merke til hvordan dette egentlig er # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Nå, hva med # cos ^ 2x-1 #? Vel, vi vet det # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. La oss multiplisere det ved #-1# og se hva vi får:

# 1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Det viser seg at # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, så la oss erstatte # cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Dette tilsvarer # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, som ved hjelp av noe trig, kokes ned til # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

På dette punktet har vi forenklet til integral # INT1 / (cosx-1) dx # til # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. Ved hjelp av sumregel blir dette:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

Den første av disse er # Cscx # (fordi derivatet av # Cscx # er # -Cotxcscx #) og den andre er # Cotx # (fordi derivatet av # Cotx # er # -Csc ^ 2x #). Legg til på integrasjonskonstanten # C # og du har din løsning:

# INT1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #