Hva er absolutt ekstrem av f (x) = x ^ 4 - 8x ^ 2 - 12 i [-3, -1]?

Svar:

#-3# (forekommer hos # x = -3 #) og #-28# (forekommer hos # x = -2 #)

Forklaring:

Absolutt ekstrem av et lukket intervall oppstår ved endepunktene i intervallet eller ved #f '(x) = 0 #.

Det betyr at vi må sette derivatet lik #0# og se hva # X #-verdier som får oss, og vi må bruke # x = -3 # og # x = -1 # (fordi disse er sluttpunktene).

Så, starter med å ta derivatet:

#f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 #

#f '(x) = 4x ^ 3-16x #

Setter det lik #0# og løse:

# 0 = 4x ^ 3-16x #

# 0 = x ^ 3-4x #

# 0 = x (x ^ 2-4) #

# X = 0 # og # X ^ 2-4 = 0 #

Dermed er løsningene #0,2,# og #-2#.

Vi blir umiddelbart kvitt #0# og #2# fordi de ikke er i intervallet #-3,-1#, forlater bare # x = -3, -2, # og #-1# som mulige steder hvor ekstrem kan oppstå.

Til slutt vurderer vi disse en etter en for å se hva den absolutte min og max er:

#f (-3) = - 3 #

#f (-2) = - 28 #

#f (-1) = - 19 #

Derfor #-3# er absolutt maksimum og #-28# er absolutt minimum på intervallet #-3,-1#.

Hva er absolutt ekstrem?

Hvis en funksjon har et absolutt maksimum ved x = b, er f (b) den største verdien som f kan oppnå. En funksjon f har et absolutt maksimum ved x = b hvis f (b) f (x) for alle x i domenet til f.

Hva er absolutt ekstrem av f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) i [oo, oo]?

X = 0 er maksimum av funksjonen. F (x) = 1 / (1 + x²) La oss søke f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Så vi kan se at det er en unik løsning, f ' (0) = 0 Og også at denne løsningen maksimerer funksjonen, fordi lim_ (x til ± oo) f (x) = 0 og f (0) = 1 0 / her er vårt svar!

Hvilken teori garanterer eksistensen av en absolutt maksimumsverdi og en absolutt minimumsverdi for f?

Generelt er det ingen garanti for eksistensen av et absolutt maksimum eller en minimumsverdi på f. Hvis f er kontinuerlig i et lukket intervall [a, b] (det vil si: i et lukket og avgrenset intervall), garanterer Ekstremsatsetormen eksistensen av en absolutt maksimums- eller minimumsverdi av f på intervallet [a, b] .