Hvordan finner jeg integrert int (x * e ^ -x) dx?

Hvordan finner jeg integrert int (x * e ^ -x) dx?
Anonim

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Prosess:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Dette integralet vil kreve integrering av deler. Husk formelen:

#int du dv = uv - int v du #

Vi vil la #u = x #, og #dv = e ^ (- x) dx #.

Derfor, #du = dx #. Finne # V # vil kreve a # U #-substitution; Jeg vil bruke brevet # Q # i stedet for # U # siden vi allerede bruker # U # i integrering av delformel.

#v = int e ^ (- x) dx #

la #q = -x #.

og dermed, #dq = -dx #

Vi vil omskrive integralet og legge til to negativer for å imøtekomme # DQ #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Skrevet i form av # Q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

Derfor,

#v = -e ^ (q) #

Bytter tilbake for # Q # gir oss:

#v = -e ^ (- x) #

Nå ser vi tilbake på IBPs formel, vi har alt vi trenger for å begynne å erstatte:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Forenkle, avbryte de to negativene:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Det andre integralet skal være enkelt å løse - det er lik # V #, som vi allerede har funnet. Bare erstatt, men husk å legge til konstant integrering:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #