Hva er alle verdiene for k for hvilke int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

og

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # men

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2k + 2 ^ 2) # og

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # så

k2-2k + 2 ^ 2 (k-2)

eller

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

så til slutt

ekte verdier # k = {-2,2} #

komplekse verdier # k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Svar:

# k = + - 2 #

Forklaring:

Vi krever:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrering får vi:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 farge (hvit) ("" / "" x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Antar at # k i RR # (det er faktisk #6# røtter, #4# hvorav er komplekse)

Nå, avhengig av problemets kontekst, kan man argumentere for det #k <2 # (dvs # K = -2 #) er ugyldig som #k> = 2 # å gjøre det interne "riktige" dermed utelukkende den løsningen, men uten noen sammenheng er det rimelig å inkludere begge løsninger.

Legg også merke til det #k = + - 2 # kan bli vist å være løsninger uten å faktisk utføre integrasjon.

For det første er en egenskap av bestemte integraler at:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

så vi kan umiddelbart etablere # K = 2 # er en løsning.

For det andre, # X ^ 5 # er en merkelig funksjon og ulike funksjoner tilfredsstiller:

# f (-x) = f (x) #

og har rotasjonssymmetri om opprinnelsen. som sådan, hvis #f (x) # er merkelig da:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

så vi kan umiddelbart etablere # K = -2 # er en løsning.

Integrasjonen og påfølgende beregninger viser imidlertid at disse er de eneste løsningene!