Hvordan finner jeg integrert int (x * cos (5x)) dx?

Vi vil huske formelen for integrasjon av deler, som er:

#int du dv = uv - int v du #

For å finne denne integralen vellykket vil vi la #u = x #, og #dv = cos 5x dx #. Derfor, #du = dx # og #v = 1/5 sin 5x #. (# V # kan bli funnet ved hjelp av en rask # U #-substitution)

Grunnen jeg valgte # X # for verdien av # U # er fordi jeg vet at senere vil jeg ende opp med å integrere # V # ganget med # U #s derivat. Siden derivatet av # U # er bare #1#, og siden integrering av en trig-funksjon av seg selv ikke gjør det noe mer komplekst, har vi effektivt fjernet # X # fra integandet og trenger bare å bekymre seg om sinusen nå.

Så, plugging i IBPs formel, får vi:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Trekker på #1/5# ut av integand gir oss:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int synd 5x dx #

Integrering av sinus vil bare ta en # U #-substitution. Siden vi allerede har brukt # U # for IBPs formel vil jeg bruke brevet # Q # i stedet:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Å få en # 5 dx # I integandet vil jeg multiplisere integralet av en annen #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Og erstatte alt i form av # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Vi vet at integralet av #synd# er # -Cos #, slik at vi enkelt kan fullføre denne integralen. Husk integrasjonskonstanten:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Nå skal vi bare erstatte tilbake # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Og det er vårt integral.