Hvordan finner jeg det integrale int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Ved hjelp av integrering av deler,

# Intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Husk at integrasjon av deler bruker formelen:

# Intu # # Dv # = #uv - intv # # Du #

Som er basert på produktregelen for derivater:

#uv = vdu + utv.

For å bruke denne formelen må vi bestemme hvilket uttrykk som skal være # U #, og som vil være # Dv #. En nyttig måte å finne ut hvilken term som går hvor er JEG SEN metode.

Inverse Trig

logaritmer

algebra

Trig

exponentials

Dette gir deg en prioriteringsordning som er brukt til "# U #", så det som blir igjen blir vår # Dv #. Vår funksjon inneholder en # X ^ 2 # og a # Sinpix #, så ILATE-metoden forteller oss det # X ^ 2 # skal brukes som vår # U #, siden det er algebraisk og høyere på listen enn # Sinpix #, som er trig.

Vi har nå:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

De neste elementene vi trenger i formelen er "# Du #"og"# V #", som vi får ved å finne derivatet av"# U #"og integralet av"# Dv #'.

Derivatet er oppnådd ved bruk av kraftregelen:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

For integralet kan vi bruke substitusjon.

ved hjelp av #w = pix #, vi ender opp med # (- 1 / pi) cosw #

Vi har nå:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Plugging inn i vår originale Integration by Parts formel, har vi:

# Intu # # Dv # = #uv - intv # # Du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Vi er nå igjen med en annen integrering som vi må bruke Integrering av deler igjen for å løse. Ved å trekke #2# ut av integralet, er vi igjen med #u = x #, #dv = cospix #. Ved å gå gjennom samme prosess før, får vi:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Denne siste integralen kan vi løse med en siste substitusjonsrunde, som gir oss:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Plassering av alt vi har funnet sammen, har vi nå:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix

Nå kan vi forenkle negativene og parentesene for å få vårt endelige svar:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Nøkkelen er å huske at du vil ende opp med en kjede med flere vilkår som legges til eller trekkes sammen. Du deler kontinuerlig integralet i mindre, håndterbare deler som du må holde styr på for det endelige svaret.