Hvordan ville du integrere int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Svar:

Denne integral eksisterer ikke.

Forklaring:

Siden #ln x> 0 # i intervallet # 1, e #, vi har

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

her, slik at integralet blir

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Erstatning #ln x = u #, deretter # dx / x = du # så det

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Dette er en feilaktig integral, da integanden avviker ved den nedre grensen. Dette er definert som

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

hvis dette eksisterer Nå

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

siden dette avviger i grensen #l -> 0 ^ + #, eksisterer ikke integralet.

Svar:

# Pi / 2 #

Forklaring:

Integralet # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Stedfortreder først # U = ln (x) # og # "D" u = ("d" x) / x #.

Dermed har vi

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Nå, erstatning # U = sin (v) # og # "D" u = cos (v) "d" v #.

Deretter, (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^) "d" v # siden # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Fortsatt, vi har

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #