Radien til en sfærisk ballong øker med en hastighet på 2 centimeter per minutt. Hvor fort er volumet endret når radiusen er 14 centimeter?

Svar:

# 1568 * pi # cc / min

Forklaring:

Hvis radiusen er r, så endrer hastigheten av r med hensyn til tiden t, # d / dt (r) = 2 # cm / minutt

Volum som en funksjon av radius r for en sfærisk gjenstand er

# V (r) = 4/3 * pi * r ^ 3 #

Vi må finne # D / dt (V) # ved r = 14cm

Nå, (d) (d) (d) (d) (d) d (d) dt (r) #

Men # D / dt (r) # = 2 cm / minutt. Og dermed, # D / dt (V) # ved r = 14 cm er:

# 4pi * 14 ^ 2 * 2 # kubikk cm / minutt # = 1568 * pi # cc / min

Høyden til en trekant øker med en hastighet på 1,5 cm / min mens trekantens område øker med en hastighet på 5 cm / min. I hvilken grad er bunnen av trekanten endret når høyden er 9 cm og arealet er 81 kvadrat cm?

Dette er en relatert type (av endring) type problem. Berørte variablene er a = høyde A = området, og siden området av en trekant er A = 1 / 2ba, trenger vi b = base. Gitte endringshastigheter er i enheter per minutt, så den (usynlige) uavhengige variabelen er t = tid i minutter. Vi blir gitt: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Og vi blir bedt om å finne (db) / dt når a = 9 cm og A = 81cm "" 2 A = 1 / 2ba, differensiering med t, får vi: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Vi trenger produktregelen til høyre. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b

Radien til en sfærisk ballong øker med 5 cm / sek. I hvilken grad blåses luft inn i ballongen i øyeblikket når radiusen er 13 cm?

Dette er et problem med tilhørende priser (av endring). Hastigheten som luften blir blåst inn måles i volum pr tidsenhet. Det er en volumendring i forhold til tid. Hastigheten ved hvilken luft blåses inn er den samme som hastigheten der ballongvolumet øker. V = 4/3 pi r ^ 3 Vi vet (dr) / (dt) = 5 "cm / sek". Vi vil ha (dV) / (dt) når r = 13 "cm". Differensier V = 4/3 pi ^ 3 implisitt med hensyn til td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Plugg inn det du kjenner og løser for det du ikke kjenner. (dV) /

Hvis radiusen til en sfære øker med en hastighet på 4 cm per sekund, hvor fort er volumet økende når diameteren er 80 cm?

12.800cm3s Dette er en klassisk Relaterte priser problemer. Ideen bak relaterte priser er at du har en geometrisk modell som ikke endres, selv om tallene endres. For eksempel vil denne formen forbli en sfære selv om den endrer størrelse. Forholdet mellom en hvor volum og radius er V = 4 / 3pir ^ 3 Så lenge dette geometriske forholdet ikke endres etter hvert som kule vokser, kan vi utlede dette forholdet implisitt og finne et nytt forhold mellom endringsratene . Implisitt differensiering er hvor vi utlede hver variabel i formelen, og i dette tilfellet utleder vi formelen med tanke på tiden. Så vi ta