Hva er løsningen på differensialligningen dy / dx + y = x?

Svar:

#y = A e ^ -x + x - 1 #

# "Dette er en lineær første rekkefølge diff. Eq. Det er en generell teknikk" #

# "for å løse denne typen likning. Situasjonen her er enklere" #

#"selv om."#

# "Først søk løsningen av den homogene ligningen (=" # "

# "samme ligning med høyre side lik null:" #

# {dy} / {dx} + y = 0 #

# "Dette er en lineær første ordens diff. Eq. Med konstante koeffisienter." #

# "Vi kan løse de med substitusjonen" y = A e ^ (rx): #

#r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 #

# => r + 1 = 0 "(etter deling gjennom" A e ^ (rx) ")" #

# => r = -1 #

# => y = A e ^ -x #

# "Så søker vi en bestemt løsning av hele ligningen." #

# "Her har vi en enkel situasjon som vi har en enkel polynom" # #

# "i høyre side av ligningen." #

# "Vi prøver et polynom av samme grad (grad 1) som løsning:" #

#y = x + b #

# => 1 + x + b = x #

# => b = -1 #

# => y = x - 1 "er den spesielle løsningen." #

# "Hele løsningen er summen av den spesifikke løsningen som vi" #

# "har funnet og løsningen til den homogene likningen:" #

# => y = A e ^ -x + x - 1 #

# Y = Ce ^ (- x) + x-1 #

# Dy / dx + y = x #

# Y '+ y = x #

# (Y '+ y) * e ^ x = xe ^ x #

# (Ye ^ x) '= xe ^ x #

# ye ^ x = int xe ^ x * dx #

# ye ^ x = xe ^ x-int e ^ x * dx #

# Ye ^ x = (x-1) * e ^ x + C #

# Y = Ce ^ (- x) + x-1 #