Hva er den generelle løsningen av differensialligningen y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Karakteristisk ligning er:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "plate av quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "så vi har to komplekse løsninger, de er" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Så den generelle løsningen av den homogene ligningen er:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) synd

# "Den spesifikke løsningen på den komplette ligningen er" #

# "y = x," #

# "Det er lett å se." #

# "Så den komplette løsningen er:" #

# x (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) synd

Svar:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Forklaring:

Vi har:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Eller, alternativt:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Dette er en tredje bestil lineær ikke-homogen differensieringsligning med konstante koeffisienter. Standardmetoden er å finne en løsning, # Y_c # av den homogene ligningen ved å se på hjelpekvivalenten, som er polynomekvasjonen med koeffisientene til derivatene, og deretter finne en uavhengig bestemt løsning, # Y_p # av den ikke-homogene ligningen.

Røttene til hjelpekvasjonen bestemmer deler av løsningen, som dersom de er lineært uavhengige, da overløsningen av løsningene danner den totale generelle løsningen.

• Virkelige forskjellige røtter # m = alfa, beta, … # vil gi lineært uavhengige løsninger på skjemaet # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Vær ^ (betax) #, …
• Virkelige gjentatte røtter # M = a #, vil gi en løsning av skjemaet # Y = (Ax + B) e ^ (alphax) # hvor polynomet har samme grad som gjentakelsen.
• Komplekse røtter (som må forekomme som konjugatpar) # M = p + qi # vil gi et par lineært uavhengige løsninger av formen # Y = e ^ (px) (Acos (QX) + Bsin (QX)) #

Spesiell løsning

For å finne en bestemt løsning av den ikke-homogene ligningen:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # med #f (x) = 4 # ….. C

så som #f (x) # er et polynom av grad #0#, ville vi se etter en polynomelløsning av samme grad, dvs. av formen #y = a #

Imidlertid eksisterer en slik løsning allerede i CF-løsningen, og må derfor vurdere en mulig løsning av formen # Y = ax #, Hvor konstantene #en# skal bestemmes av direkte substitusjon og sammenligning:

Skille # Y = ax # wrt # X # vi får:

# y '= en #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Ved å erstatte disse resultatene til DE A får vi:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Og så danner vi den spesielle løsningen:

# y_p = x #

Generell løsning

Hvilket fører da til GS av A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Merk denne løsningen har #3# konstanter for integrasjon og #3# lineært uavhengige løsninger, og dermed av eksistensen og unikhetsteorien er deres overordnet den generelle løsningen