Differensier cos (x ^ 2 + 1) ved å bruke første prinsipp av derivat?

Svar:

# -Sin (x ^ 2 + 1) * 2 x #

Forklaring:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

For dette problemet må vi bruke kjedestyre, samt det faktum at derivatet av #cos (u) = -in (u) #. Kjedestyrelsen sier i utgangspunktet bare at du først kan utlede ytelsesfunksjonen med hensyn til hva som er inne i funksjonen, og deretter multiplisere dette med derivatet av det som er inne i funksjonen.

Formelt, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, hvor #u = x ^ 2 + 1 #.

Vi må først utarbeide derivatet av biten inne i cosinus, nemlig # 2x #. Da, etter å ha funnet derivatet av cosinusen (en negativ sinus), kan vi bare multiplisere det med # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Vi må finne

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos (x + h) ^ 2-1) -koser (x ^ 2-1)) / h #

La oss fokusere på uttrykket hvis grense vi trenger.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h2 2) -kos (x ^ 2-1)) / h #

# cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h2 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (t (2x + h)) (2x + h) #

Vi bruker følgende grenser:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (kost-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

Og #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

For å evaluere grensen:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #