Svar:
Krysskurven kan være parametriert som # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
Forklaring:
Jeg er ikke sikker på hva du mener med vektorfunksjon. Men jeg forstår at du søker å representere skjæringsgraden mellom de to flatene i spørsmålet.
Siden sylinderen er symmetrisk rundt # Z # akse, kan det være lettere å uttrykke kurven i sylindriske koordinater.
Bytt til sylindriske koordinater:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# R # er avstanden fra # Z # akse og # Theta # er mot klokken vinkel fra # X # akse i # x, y # planet.
Da blir den første overflaten
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# R ^ 2 = 81 #
# R = 9 #, på grunn av den pythagoreanske trigonometriske identiteten.
Den andre overflaten blir
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
Vi lærte fra ligningen på den første overflaten at krysskurven må være på en kvadert avstand # R ^ 2 = 81 # fra den første overflaten, gir det
#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, en kurve parametrert av # Theta #. Det siste trinnet er en trigonometrisk identitet og gjøres bare fra personlig preferanse.
Fra dette uttrykket ser vi at kurven faktisk er en kurve, da den har en grad av frihet.
Alt i alt kan vi skrive kurven som
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, som er en vektorverdig funksjon av en enkelt variabel # Theta #.
Svar:
Se nedenfor.
Forklaring:
Vurderer krysset mellom
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z i RR):} #
med
# C_2-> z = x y #
eller # C_1 nn C_2 #
vi har
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
nå løser for # X ^ 2, y ^ 2 # vi får parametriske kurver
# {(x ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))} # eller
# {(x = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt -4 z ^ 2)))):} #
som er ekte for
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rArr z lepm (r / 2) ^ 2 #
Vedlagt et tomt som viser krysskurven i rødt (ett blad).
