Hvordan forenkler jeg synden (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?

Hvordan forenkler jeg synden (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x))?
Anonim

Svar:

jeg får #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

Forklaring:

Vi har sinus av en forskjell, så trinn ett vil være forskjellen vinkelen formel, #sin (a-b) = synd a cos b - cos en synd b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

Vel, arcsinens sinus og cosinus av arccosin er enkle, men hva med de andre? Vel, vi gjenkjenner #arccos (sqrt {2} / 2) # som # pm 45 ^ sirk #, så

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

Jeg skal forlate # Pm # der; Jeg prøver å følge konvensjonen at arccos er alle inverse cosines, mot Arccos, hovedverdien.

Hvis vi vet at sinus av en vinkel er # 2x #, det er en side av # 2x # og en hypotenuse av #1# så den andre siden er # Sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

Nå, #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #