Resten når x ^ (2011) er delt med x ^ 2 -3x + 2 er?

Svar:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011-2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Forklaring:

En semi-enkel måte å se dette på er å begynne å dele uttrykket ved hjelp av Long Division. Skriv utbytte (under divisjonssymbolet) med nuller som

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

Vi trenger ikke alle vilkårene for å merke mønsteret.

Når du begynner å dele, vil du observere at den første termen har en koeffisient på 1, den andre har en koeffisient på 3, den tredje har en koeffisient på 7, deretter 15, deretter 31 osv.

Disse tallene har skjemaet # 2 ^ m - 1 #.

Resten vil dukke opp etter at du har delt gjennom hele greia, bestående av # 2011 ^ (th) # og # 2012 ^ (th) # vilkår.

Den første termen i kvoten vil følge det samme mønsteret med #2^2011-1# som koeffisient. Den siste koeffisienten er en mindre enn #2^2011-1# -- Det er #2^2011 - 2#, eller #2(2^2010 - 1)#.

Det samme mønsteret gjelder for hver deling av skjemaet

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, hvor #m> = 3 #.

Du kan også merke det # x ^ 2011 - 1 # er et flertall av #x - 1 #, som ville avbryte en faktor i nevnen.

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

hvor #Q (x) # er en #2009# grad polynomial og # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Nå vet vi

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Løsning for # A, b # vi oppnår

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # og så

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # som er resten.