En trekant har vertikaler A (a, b), C (c, d) og O (0, 0). Hva er ligningen og arealet av trekantenes omkretsede sirkel?

Svar:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # hvor

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2)

#A = pi s #

Forklaring:

Jeg generaliserte spørsmålet; la oss se hvordan det går. Jeg forlot ett toppunkt på opprinnelsen, noe som gjør det litt mindre rotete, og en vilkårlig trekant blir lett oversatt.

Triangelen er selvsagt helt uavhengig av dette problemet. Den omkretsede sirkelen er sirkelen gjennom de tre punktene, som tilfeldigvis er de tre toppene. Trianglen gjør et overraskende utseende i løsningen.

Noen terminologi: Den omkretsede sirkelen kalles trekanten omskrevne og dens midtpunkt trekantens omskrevet.

Den generelle ligningen for en sirkel med senter # (P, q) # og kvadratradius # S # er

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

og sirkelområdet er #A = pi s. #

Vi har tre ukjente # P, q, s # og vi kjenner tre poeng, så vi får tre ligninger:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # fordi opprinnelsen er på sirkelen.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

La oss løse de samtidige ligningene. La oss omdanne dem til to lineære ligninger ved å utvide og subtrahere par, noe som betyr å miste # P ^ 2 + q ^ 2 # til venstre og # S # til høyre.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

trekke, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

På samme måte, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Det er to likninger i to ukjente. # AX = K # har løsning # X = A ^ {- 1} K. # Jeg husker de to av to matrisen inverse som jeg ikke vet hvordan man skal formatere, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

For oss betyr det

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

og en kvadrert radius av

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2)

så et område av # Pi # ganger det beløpet.

Vi kan se at uttrykket blir mer symmetrisk hvis vi vurderer hva som skjer for den vilkårlig trekant #(A B C D E F).# Vi setter # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # men jeg vil ikke jobbe det ut nå.

Jeg merker telleren til # S # er produktet av de tre firkantede lengdene på trekantens sider, og nevnen til # S # er seksten ganger det kvadratiske området av trekanten.

I rasjonell trigonometri kalles kvadratiske lengder quadrances og seksten ganger det kvadratiske området kalles quadrea. Vi fant quadranten av radius av circumcircle er produktet av quadrances av trekanten divideres med sin quadrea.

Hvis vi bare trenger radius eller område av circumcircle, kan vi oppsummere resultatet her som:

Den omkretsede kvadrert radius er produktet av triangulærets lengde dividert med seksten ganger trekantens kvadratområde.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #