La V = R3 og W = {(x, y, z) x + y + z = 0} være et underrom av V. Hvilken av de følgende vektparene er i samme coset av W i V? (I) (1,3,2) og (2.2.2). (Ii) (1,1,1) og (3,3,3).

Svar:

# #

# mbox {i}} (1,3,2) mbox {og} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {tilhører samme coset av} W. #

# mbox {ii}} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {tilhører ikke den samme coset av} W. #

Forklaring:

# #

# mbox {1} Merk at, med det som er gitt på W, mbox {vi kan beskrive} mbox {elementene til} W mbox {som de vektorene av} V mbox {hvor} mbox {summen av koordinatene er} 0. #

# #

# mbox {2} Nå husker at:} #

# mbox {to vektorer tilhører samme coset av et underrom} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {deres forskjell tilhører selve delområdet}. #

# #

# mbox {3) For å bestemme medlemskap i samme coset av} W, mbox {det er nødvendig og tilstrekkelig til å avgjøre om} mbox {forskjellen mellom disse vektorene tilhører} W: #

v quad vec {v_1}. #

# #

# mbox {Dermed av beskrivelsen av} W mbox {i (1) ovenfor har vi:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {same coset av} W quad iff quad mbox {summen av koordinatene til} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {Det er et spørsmål om denne enkle beregningen.} #

# #

# 4) mbox {Proceeding med de to gitt vektorene, og} mbox {utfører denne beregningen på hvert par finner vi: #

# quad mbox {i}} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {og så} #

# qquad qquad mbox {summen av koordinatene til} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {dermed:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {and} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {tilhører samme coset av} W. #

# #

# quad mbox {ii}} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {og så} #

# qquad qquad mbox {summen av koordinatene til} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Derfor:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {and} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {tilhører ikke den samme coset av} W. #