Hva er sqrt (3 + i) lik i a + bi form?

Svar:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)

Anta # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Så like ekte og imaginære deler får vi:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

derav #b = 1 / (2a) #, som vi kan erstatte i den første ligningen for å få:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Multipliser begge ender med # 4a ^ 2 # å få:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Så:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Fra den kvadratiske formelen får vi:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Siden #sqrt (10)> 3 #, Velg #+# logg for å få ekte verdier for #en#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

hvor # B # har samme tegn som #en# siden #b = 1 / (2a) #

Den viktigste kvadratroten er i Q1 med #a, b> 0 #

Det er:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)

Faktisk, hvis #c, d> 0 # da kan vi på samme måte vise:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) Jeg#