Hva er hastigheten til en partikkel for t = 0 til t = 10 hvos akselerasjon er veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Svar:

Gjennomsnittlig hastighet: # 6.01 xx 10 ^ 3 # # "M / s" #

Hastighet til tid #t = 0 # # "S" #: #0# # "M / s" #

Hastighet på #t = 10 # # "S" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # # "M / s" #

Forklaring:

Jeg antar at du mener gjennomsnittlig hastighet fra #t = 0 # til #t = 10 # # "S" #.

Vi får komponentene i partikkelens akselerasjon, og bedt om å finne gjennomsnittshastigheten over den første #10# sekunder av bevegelsen:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

hvor

• #v_ "av" # er størrelsen på gjennomsnittshastigheten, og

• # DeltaR # er forandringen i objektets posisjon (fra #0# # "S" # til #10# # "S" #).

Vi må derfor finne objektets posisjon i disse to ganger.

Vi må utlede en posisjonsligning fra denne akselerasjonsligningen ved å integrere den to ganger:

Første integrasjon:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hat # (hastighet)

Andre integrasjon:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hat # (stilling)

Den opprinnelige posisjonen antas å være fra opprinnelsen, så la oss plugge inn #10# til # T # i stillingsligningen:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hat #

Vi kan da dele gjennomsnittshastighetsligningen i komponenter:

(2500 "m") / (10 "s") = farge (rød) (250 # #COLOR (red) ("m / s" #

(2500/3 "m") / (10 "s") = farge (blå) (250/3 # #COLOR (blå) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = farge (grønn) #COLOR (grønn) ("m / s" #

Ved hjelp av disse komponentene kan vi finne størrelsen på gjennomsnittshastighetsvektoren:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2)

# = farge (lilla) (6.01 xx 10 ^ 3 # #COLOR (lilla) ("m / s" #

(Her er den momentant hastighetsseksjon).

For å finne momentane hastigheter på #t = 0 # og #t = 10 # # "S" #, la oss først plugge inn disse tider inn i den tidligere integrerte hastighetsligningen:

• #t = 0 # # "S" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 #

# = farge (rød) (0 # #COLOR (red) ("m / s" #

• #t = 10 # # "S" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s" ^ 2) hatj (2 (10 "s") ^ 4 + 400 #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

Størrelsen på denne hastigheten er således

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2)

# = farge (blå) (2,40 xx 10 ^ 4 # #COLOR (blå) ("m / s" #