Hvis en stein faller i en høyde på 174,9 m fra en helikopter som stiger opp med en hastighet på 20,68 m / s, hvor lang tid tar steinen å nå bakken?

Svar:

8,45 sekunder.

Forklaring:

Retningen av 'g' når vi snakker om akselerasjon, avhenger av koordinatsystemet vi definerer. For eksempel hvis du skulle definere nedover som den positive "y" så ville g være positiv. Konvensjonen er å ta opp som positiv så g vil være negativ. Dette er det vi skal bruke, også vi tar grunnen som #y = 0 #

#COLOR (red) ("EDIT:") # Jeg har lagt til en tilnærming med de kinematiske ligningene du lærer tidlig på bunnen. Alt jeg har gjort her er utlede disse ved hjelp av kalkulator, men jeg setter pris på at du kanskje ikke har dekket det.Bla ned til den røde tittelen for ikke-kalkulær tilnærming.

Vi kan se nærmere på dette ved å starte fra begynnelsen med Newtons andre lov. Når steinen er tømt, har den en innledende hastighet, men den eneste kraften som påvirker den skyldes tyngdekraften. Vi har definert oppover som positiv y-retning, slik at Newtons andre lov vi kan skrive

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Dette skyldes at steinen vil akselerere mot jorden, som vi har definert som den negative retningen.

Integrering av dette uttrykket gir:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # er hastigheten til steinen, så når vi bruker starthastigheten på #y '(0) = + 20.68 # vi kommer til

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Dette modellerer hastigheten og gir mening hvis du tenker på det. Når den er utgitt, vil den ha samme hastighet som helikopteret og vil dermed bevege seg oppover for en tid, men etter hvert som tiden går, stopper den og begynner å falle.

For å finne forskyvning integrerer vi igjen:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Påfør innledende tilstand #y (0) = 174.9 #

# 174,9 = 20,68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#therefore y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

For å løse for tiden å komme til bakken, sett # Y = 0 # og løse den kvadratiske:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Dette er definitivt en jobb for den kvadratiske formelen:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9))) / g #

tar #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 eller -4,23 #

Vi kaster bort den negative løsningen, så steinen tar 8,45 sekunder for å slå bakken.

#color (rød) ("No Calculus Approach") #

Vi vet det #v = v_0 + ved # hvor # V # er den endelige hastigheten, # V_0 # er innledende hastighet, #en# er akselerasjon og # T # er tiden det søkte om.

Som jeg sa tidligere, med et oppadgående koordinatsystem # G # vil være negativ, men steinen vil først bevege seg oppover på grunn av den innledende hastigheten. Vi ønsker å finne det punktet som det slutter å bevege seg oppover:

Sett #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Bruk nå

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # igjen med #a = -g #

så #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21.8m #

Dette betyr at steinen stopper øyeblikkelig på #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196.7m #

Nå har vi ikke noen pesky innledende hastigheter å kjempe med, bare et rett fall fra denne høyden:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Som oppover er positivt, vil fallende resultere i en negativ forskyvning slik

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # som kreves.

Svar:

8.45s

Forklaring:

Helikopteret passerer med en hastighet # U = 20.68m / s # Så steinen som slippes fra den vil ha samme innledende hastighet som den stigende hastigheten til helikopter, men nedadgående gravitasjonskraft vil gi den en nedadgående akselerasjon (g).

Med tanke på å slippe steinen fra helikopter som opprinnelse, fortsetter vi som følger

Hvis oppadgående innledende hastighet tas positiv deretter nedadgående akselerasjon (g) bør tas som negativ og downard forskyvning (h) bør også vurderes negativ.

#color (rød) ("Her oppover + ve og nedover -ve") #

Nå beregning av tid (t) for å nå bakken

Så vi har

# u = + 20,68m / s #

# G = -9.8m / s ^ 2 #

# H = -174.9m #

#t = #

Sette disse i bevegelsesligning under tyngdekraften (som omfatter variablene h, u, g, t) vi får

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => ^ 4.9t 2-20.68t-174,9 = 0 #

# => T = (20,68 + SQRT ((- 20.68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8.45s #

Samme ligning (1) vil bli oppnådd dersom vi reverserer retningen#color (rød) ("i.e.upward - ive og downward + ive.") #