Svar:
# xx2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Forklaring:
For dette problemet er fornuftig # 4-9x ^ 2> = 0 #, så # -2/3 <= x <= 2/3 #. Derfor kan vi velge en # 0 <= u <= pi # slik at # X = 2 / 3cosu #. Ved å bruke dette kan vi sette opp variabelen x i integralet med # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # her bruker vi det # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # og det for # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Nå bruker vi integrasjon av deler for å finne # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Derfor # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Så vi har funnet #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, nå erstatter vi # X # tilbake for # U #, ved hjelp av # U = cos ^ (- 1) ((3 x) / 2) #, så # xx2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) (3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (-1) (3x) / 2) + c #.
Vi kan forenkle dette ved å bruke definisjonen av sines og cosines i form av trekanter. For en riktig trekant med en vinkel # U # på en av de ikke-høyre hjørner, # sinu = "motsatt side" / "lengste side" #, samtidig som # cosu = "tilstøtende side" / "lengste side" #, siden vi vet # COSU = (3x) / 2 #, vi kan velge den tilstøtende siden for å være # 3x # og den lengste siden å være #2#. Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi motsatt side å være #sqrt (4-9x ^ 2) #, så #sin (cos ^ (- 1) ((3 x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Derfor # xx2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
