Hva er ekstremen av f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 på intervallet [-1,3]?

Svar:

Vi har en minima på # X = 0 # og et bøyningspunkt på # X = 3 #

Forklaring:

En maksima er et høyt punkt som en funksjon stiger og faller deretter igjen. Som sådan vil hellingen av tangenten eller verdien av derivatet på det tidspunktet være null.

Videre, som tangentene til venstre for maksima vil være skråt oppover, deretter flatt og deretter skrånende nedover, vil helling av tangenten avta kontinuerlig, dvs. verdien av andre derivat ville være negativ.

En minima derimot er et lavt punkt som en funksjon faller og da stiger igjen. Som sådan vil tangenten eller verdien av derivat ved minima også være null.

Men som tangentene til venstre for minima vil skrånende nedover, deretter flatere og deretter skrånende oppover, vil helling av tangenten øke kontinuerlig eller verdien av andre derivat vil være positiv.

Hvis andre derivat er null, har vi et poeng på

Imidlertid kan disse maksima og minima enten være universelle, dvs. maksima eller minima for hele området eller kan være lokalisert, det vil si maksima eller minima i et begrenset område.

La oss se dette med henvisning til funksjonen beskrevet i spørsmålet, og for dette la oss først skille mellom #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Dens første derivat er gitt av #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2 x #

= # 6 x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Dette ville være null for # X ^ 2-9 = 0 # eller #X = + - 3 # eller #0#. Av disse bare #{0,3}# er innenfor rekkevidde #-1,3}#.

Derfor forekommer maksima eller minima på poeng # X = 0 # og # X = 3 #.

For å finne ut om det er maksima eller minima, la oss se på andre differensial som er #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # og dermed mens

på # X = 0 #, #f '' (x) = 486 # og er positiv

på # X = 3 #, #f '' (x) = 2430 til 2916 + 486 = 0 # og er et bøyningspunkt.

Derfor har vi en lokal minima på # X = 0 # og et bøyningspunkt på # X = 3 #

. graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Svar:

Det absolutte minimumet er #(-9)^3+10# (som skjer på #0#), er det absolutte maksimumet på intervallet #10#, (som skjer på #3#)

Forklaring:

Spørsmålet angir ikke om vi skal finne relativ eller absolutt ekstrem, så vi finner begge.

Relativ ekstrem kan bare forekomme ved kritiske tall. Kritiske tall er verdier av # X # som er i domenet til # F # og hvor enten #f '(x) = 0 # eller #f '(x) eksisterer ikke. (Fermat setning)

Absolutt ekstrem på et lukket intervall kan forekomme ved kritiske tall i intervallet eller ved enpoints av intervallet.

Fordi funksjonen spurte om her er kontinuerlig på #-1,3#, den ekstreme verdi teorem forsikrer oss om det # F # må ha både et absolutt minimum og absolutt maksimum på intervallet.

Kritiske tall og relativ ekstrem.

Til #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, Vi finner #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Helt klart, # F '# Aldri unnlater å eksistere, så det er ingen kritiske tall av den typen.

løse # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # gir løsninger #-3#, #0#, og #3#.

#-3# er ikke i domenet til dette problemet, #-1,3# så vi trenger bare sjekke #f (0) # og #f (3) #

Til #x <0 #, vi har #f '(x) <0 # og

til #x> 0 #, vi har #f '(x)> 0 #.

Så, ved den første avledede testen, #f (0) # er et relativt minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Det andre kritiske nummeret i intervallet er #3#. Hvis vi ignorerer domenereguleringen, finner vi det #f '(x)> 0 # for alle # X # nær #3#. Så øker funksjonen med små åpne intervaller som inneholder #3#. Derfor, hvis vi stopper på #3# vi har truffet det høyeste punktet i domenet.

Det er ikke universell avtale om å si det #f (3) = 10 # er et relativ maksimum for denne funksjonen på #-1,3#.

Noen krever verdi på begge sider å være mindre, andre krever verdier i domenet på begge sider for å være mindre.

Absolutt Extrema

Situasjonen for absolutt ekstrem på et lukket intervall # A, b # er mye enklere.

Finn kritiske tall i det lukkede intervallet. Ring # c_1, c_2 # og så videre.

Beregn verdiene #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # og så videre. Den største verdien er absolutt maixmum på intervallet, og minst verdi er absolutt minimum på intervallet.

I dette spørsmålet beregner vi #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # og #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimumet er #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # og

maksimumet er #f (-3) = 10 #.