Hvordan finne første derivat av f (x) = 2 sin (3x) + x?

Svar:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Forklaring:

Differensiere hvert begrep:

# (D (x)) / dx = 1 #

Ved bruk av kjedereglene for andre sikt har vi:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Med:

#t (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Sammen har vi:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Svar:

Vi blir bedt om å finne derivatet av #f (x) = 2sin (3x) + x # bruker definisjonen: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Forklaring:

Vi må vurdere:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) f x)) / h #.

Dette vil være tungvint. For å gjøre det ser mindre komplisert ut, la oss dele uttrykket i to enklere deler. Vi tar den trigonometriske delen og den lineære delen separat.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) (x + h) -x) / h #

Jeg vil anta at du kan vise at den andre grensen er #1#. Den mer utfordrende grensen er grensen som involverer trigonometriske funksjoner.

# 2 (3) x 2 h (2 x 3 h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -in3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

(3) (3h)) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3)

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Så, når vi legger de to stykkene sammen, får vi:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) (x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #