Hvilket morsomt, nyttig, matematisk faktum vet du det som normalt ikke læres på skolen?

Svar:

Hvordan evaluere "tårnene av eksponenter", som for eksempel #2^(2^(2^2))#, og hvordan du trener det siste sifferet til # 2 ^ n, # # NinNN #.

Forklaring:

For å evaluere disse "tårnene" begynner vi på toppen og jobber nedover.

Så:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

På et lignende, men litt ikke-relatert notat, vet jeg også hvordan man skal trene de siste sifrene i #2# hevet til enhver naturlig eksponent. Det siste sifferet til #2# hevet til noe, sykler alltid mellom fire verdier: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Så hvis du vil finne det siste sifferet til # 2 ^ n #, finn hvilken plass den er i syklusen, og du vil kjenne sitt siste siffer.

Svar:

Hvis #n> 0 # og #en# er en tilnærming til #sqrt (n) #, deretter:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

hvor #b = n-a ^ 2 #

Forklaring:

Anta at vi vil finne kvadratroten av noe nummer #n> 0 #.

Videre vil vi gjerne at resultatet skal være en slags kontinuerlig brøk som gjentas ved hvert trinn.

Prøve:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

#color (hvit) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

#color (hvit) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Trekke fra #en# fra begge ender for å få:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Multipliser begge sider av #sqrt (n) + a # å få:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Så hvis # A ^ 2 # er litt mindre enn # N #, deretter # B # vil være liten og den fortsatte fraksjonen vil konvergere raskere.

For eksempel, hvis vi har # N = 28 # og velg # A = 5 #, så får vi:

# b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Så:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))

som gir oss tilnærminger:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5,2915094 #

En kalkulator forteller meg #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Så dette samler ikke spesielt raskt.

Alternativt kan vi sette # N = 28 # og # A = 127/24 # å finne:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Så:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12 -…)))

gir oss tilnærminger:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5,291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127/24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Det samler seg mye raskere.

Svar:

Du kan finne tilnærminger til firkantede røtter ved hjelp av en rekursivt definert sekvens.

Forklaring:

#COLOR (hvit) () #

Metoden

Gitt et positivt heltall # N # som ikke er et perfekt firkant:

• La #p = gulv (sqrt (n)) # vær det største positive heltallet hvis firkant ikke overstiger # N #.

• La #q = n-p ^ 2 #

• Definer en sekvens av heltall ved å:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "for" i> = 1):}

Da vil forholdet mellom suksessive termer av sekvensen ha en tendens til # P + sqrt (n) #

#COLOR (hvit) () #

Eksempel

La # N = 7 #.

Deretter #p = gulv (sqrt (7)) = 2 #, siden #2^2=4 < 7# men #3^2 = 9 > 7#.

Deretter # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Så begynner vår sekvens:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

I teorien bør forholdet mellom sammenhengende ordninger ha en tendens til # 2 + sqrt (7) #

La oss se:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Noter det # 2 + sqrt (7) ~ ~ 4,645751311 #

#COLOR (hvit) () #

Hvordan det fungerer

Anta at vi har en sekvens definert av gitt verdier av # a_1, a_2 # og en regel:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

for noen konstanter # P # og # Q #.

Vurder ligningen:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Røttene til denne ligningen er:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Deretter en hvilken som helst sekvens med generell betegnelse # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # vil tilfredsstille gjentakelsesregelen vi spesifiserte.

Neste løse:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

til #EN# og # B #.

Vi finner:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

og derfor:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Så med disse verdiene av # x_1, x_2, a, b # vi har:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Hvis #q <3p ^ 2 # deretter #abs (x_2) <1 # og forholdet mellom suksessive vilkår vil ha en tendens til # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Svar:

Modulær divisjon

Forklaring:

Modulær deling er bare den samme som divisjon, bortsett fra at svaret er resten i stedet for den faktiske verdien. Snarere enn #-:# symbol, bruker du #%# symbol.

For eksempel, vanligvis, hvis du skulle løse #16-:5# du ville få #3# rest #1# eller #3.2#. Imidlertid, ved hjelp av modulær divisjon, #16%5=1#.

Svar:

Evaluere firkanter med summeringer

Forklaring:

Normalt bør du vite firkanter som #5^2=25#. Men når tallene blir større som #25^2#, det blir vanskeligere å vite av toppen av hodet ditt.

Jeg innså at etter en stund er firkanter bare summer av ulike tall.

Hva jeg mener er dette:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # hvor # K # er grunnverdien minus #1#

Så #5^2# kan skrives som:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Det vil gi deg:

#1+3+5+7+9#

Dette er faktisk #25#.

Siden tallene alltid øker med #2#, Så kunne jeg legge til første og siste nummer og deretter multiplisere med # K / 2 #.

Så for #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Så jeg kan bare gjøre det #(49+1)(25/2)# og få #25^2# som er #625#.

Det er ikke veldig praktisk, men det er interessant å vite.

#COLOR (hvit) () #

Bonus

Vet det:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n vilkår" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

tillater oss å løse noen problemer om forskjeller i firkanter.

For eksempel, hva er alle løsningene i positive heltall #m, n # av # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Dette reduserer for å finne ut hvilke summer av påfølgende ulige heltall legger til #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "gjennomsnittlig 20" #

#color (hvit) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (hvit) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (hvit) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "gjennomsnittlig 10" #

#color (hvit) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (hvit) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (hvit) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #