![Hvilket morsomt, nyttig, matematisk faktum vet du det som normalt ikke læres på skolen? Hvilket morsomt, nyttig, matematisk faktum vet du det som normalt ikke læres på skolen?](https://img.go-homework.com/img/algebra/what-fun-useful-mathematical-fact-do-you-know-that-is-not-normally-taught-at-school.jpg)
Svar:
Hvordan evaluere "tårnene av eksponenter", som for eksempel
Forklaring:
For å evaluere disse "tårnene" begynner vi på toppen og jobber nedover.
Så:
På et lignende, men litt ikke-relatert notat, vet jeg også hvordan man skal trene de siste sifrene i
Så hvis du vil finne det siste sifferet til
Svar:
Hvis
#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))
hvor
Forklaring:
Anta at vi vil finne kvadratroten av noe nummer
Videre vil vi gjerne at resultatet skal være en slags kontinuerlig brøk som gjentas ved hvert trinn.
Prøve:
#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))
#color (hvit) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))
#color (hvit) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #
Trekke fra
#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #
Multipliser begge sider av
#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #
Så hvis
For eksempel, hvis vi har
# b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #
Så:
#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))
som gir oss tilnærminger:
#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #
#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #
#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5,2915094 #
En kalkulator forteller meg
Så dette samler ikke spesielt raskt.
Alternativt kan vi sette
#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #
Så:
#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12- (1/576) / (127/12 -…)))
gir oss tilnærminger:
#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5,291bar (6) #
#sqrt (28) ~~ 127/24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #
Det samler seg mye raskere.
Svar:
Du kan finne tilnærminger til firkantede røtter ved hjelp av en rekursivt definert sekvens.
Forklaring:
Metoden
Gitt et positivt heltall
-
La
#p = gulv (sqrt (n)) # vær det største positive heltallet hvis firkant ikke overstiger# N # . -
La
#q = n-p ^ 2 # -
Definer en sekvens av heltall ved å:
# {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "for" i> = 1):}
Da vil forholdet mellom suksessive termer av sekvensen ha en tendens til
Eksempel
La
Deretter
Deretter
Så begynner vår sekvens:
#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#
I teorien bør forholdet mellom sammenhengende ordninger ha en tendens til
La oss se:
#4/1 = 4#
#19/4 = 4.75#
#88/19 ~~ 4.63#
#409/88 ~~ 4.6477#
#1900/409 ~~ 4.6455#
#8827/1900 ~~ 4.645789#
#41008/8827 ~~ 4.645746#
Noter det
Hvordan det fungerer
Anta at vi har en sekvens definert av gitt verdier av
#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #
for noen konstanter
Vurder ligningen:
# x ^ 2-2px-q = 0 #
Røttene til denne ligningen er:
# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #
# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #
Deretter en hvilken som helst sekvens med generell betegnelse
Neste løse:
# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #
til
Vi finner:
# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #
# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #
og derfor:
# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #
# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #
Så med disse verdiene av
#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #
Hvis
Svar:
Modulær divisjon
Forklaring:
Modulær deling er bare den samme som divisjon, bortsett fra at svaret er resten i stedet for den faktiske verdien. Snarere enn
For eksempel, vanligvis, hvis du skulle løse
Svar:
Evaluere firkanter med summeringer
Forklaring:
Normalt bør du vite firkanter som
Jeg innså at etter en stund er firkanter bare summer av ulike tall.
Hva jeg mener er dette:
Så
Det vil gi deg:
Dette er faktisk
Siden tallene alltid øker med
Så for
Så jeg kan bare gjøre det
Det er ikke veldig praktisk, men det er interessant å vite.
Bonus
Vet det:
# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n vilkår" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #
tillater oss å løse noen problemer om forskjeller i firkanter.
For eksempel, hva er alle løsningene i positive heltall
Dette reduserer for å finne ut hvilke summer av påfølgende ulige heltall legger til
# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "gjennomsnittlig 20" #
#color (hvit) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #
#color (hvit) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #
#color (hvit) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #
# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "gjennomsnittlig 10" #
#color (hvit) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #
#color (hvit) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 ((1 + 5) / 2) ^ 2 #
#color (hvit) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #
Antall matematikklærere på en skole er 5 mer enn 4 ganger antall engelsklærere. Skolen har 100 matematikk og engelsk lærere i det hele tatt. Hvor mange matematik og engelsk lærere jobber på skolen?
![Antall matematikklærere på en skole er 5 mer enn 4 ganger antall engelsklærere. Skolen har 100 matematikk og engelsk lærere i det hele tatt. Hvor mange matematik og engelsk lærere jobber på skolen? Antall matematikklærere på en skole er 5 mer enn 4 ganger antall engelsklærere. Skolen har 100 matematikk og engelsk lærere i det hele tatt. Hvor mange matematik og engelsk lærere jobber på skolen?](https://img.go-homework.com/algebra/the-number-of-mathematics-teachers-at-a-school-is-5-more-than-4-times-the-number-of-english-teachers-the-school-has-100-mathematics-and-english-t.png)
Det er 19 engelsklærere og 81 matematiklærere. Vi kan løse dette problemet ved å bruke bare én variabel fordi vi vet forholdet mellom antall matematikere og engelsklærere. Det er færre engelske lærere så la det være x Antallet av matte lærere er 5 mer enn (dette betyr legge til 5) 4 ganger (dette betyr multipliserer med 4) de engelske lærerne (x.) Antallet matematikklærere kan skrives som; 4x +5 Det er 100 matte og engelsk lærere helt. Legg til antall lærere sammen. x + 4x + 5 = 100 farge (hvit) (wwwww) 5x = 100-5 farge (hvit) (wwwww) 5x = 95 farge
Justin rider sykkelen 2,5 kilometer til skolen. Luke går 1.950 meter til skolen. Hvor mye lenger går Justin til skolen enn Luke går til skolen?
![Justin rider sykkelen 2,5 kilometer til skolen. Luke går 1.950 meter til skolen. Hvor mye lenger går Justin til skolen enn Luke går til skolen? Justin rider sykkelen 2,5 kilometer til skolen. Luke går 1.950 meter til skolen. Hvor mye lenger går Justin til skolen enn Luke går til skolen?](https://img.go-homework.com/prealgebra/justin-rides-his-bicycle-25-kilometers-to-school-luke-walks-1950-meters-to-school.-how-much-farther-does-justin-ride-to-school-than-luke-walks.jpg)
Prefikset "kilo" betyr 1000, hva som helst etter kilo. Så 2,5 km = 2,5xx1,000m = 2,500m differansen er 2.500-1.950 = 550m
Av 32 studenter i en klasse, sa 5 at de syklet på syklene til skolen. Basert på disse resultatene, hvordan forutsier du hvor mange av de 800 elevene i skolen som sykler på sykkelen til skolen?
![Av 32 studenter i en klasse, sa 5 at de syklet på syklene til skolen. Basert på disse resultatene, hvordan forutsier du hvor mange av de 800 elevene i skolen som sykler på sykkelen til skolen? Av 32 studenter i en klasse, sa 5 at de syklet på syklene til skolen. Basert på disse resultatene, hvordan forutsier du hvor mange av de 800 elevene i skolen som sykler på sykkelen til skolen?](https://img.go-homework.com/algebra/out-of-32-students-in-a-class-5-said-they-ride-their-bikes-to-school.-based-on-these-results-how-do-you-predict-how-many-of-the-800-students-in-t.jpg)
125 Vi antar at prøven på 32 studenter er en enkel tilfeldig prøve. Dermed vil den forventede proppandelen være lik befolkningsandelen. Det beste estimatet vi kan gi er 5/32 xx 800 = 125