Hva er en bølgefunksjon, og hva er kravene for at den skal være friskoppført, dvs. for å kunne representere den fysiske virkeligheten riktig?

Svar:

Bølgefunksjonen er en kompleks verdsatt funksjon der amplituden (absolutt verdi) gir sannsynlighetsfordelingen. Men det oppfører seg ikke på samme måte som en vanlig bølge.

Forklaring:

I kvantemekanikk snakker vi om tilstanden til et system. Et av de enkleste eksemplene er en partikkel som kan være i en opp- eller nedtur, for eksempel et elektron. Når vi måler spinn av et system, måler vi enten opp eller ned. En tilstand ved hvilken vi er sikre på utfallet av måling, kaller vi en egenstat (en opp tilstand # Uarr # og en ned tilstand # Darr #).

Det er også stater hvor vi er usikre på resultatene av måling før vi måler det. Disse tilstandene vi kaller en superposisjon, og vi kan skrive dem ned som # En * uarr + b * Darr #. Her har vi # | En | ^ 2 # Sannsynligheten for å måle # Uarr #, og # | B | ^ 2 # Sannsynligheten for å måle # Darr #. Dette betyr selvsagt det # | En | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Vi tillater det # A, b # For å være komplekse tall, er årsaken til dette ikke umiddelbart klart fra dette eksemplet, men i sammenheng med bølgefunksjonen blir det tydeligere. Bunnlinjen er at det er flere stater enn en som gir de samme sannsynlighetene for å måle spinnene.

Nå kan vi prøve å tilordne en funksjon til denne spin-tilstanden. Siden det kun er to resultater av måling av spinn, har vi en funksjon som kun har to mulige innganger. Hvis vi kaller funksjonen # Psi # (dette er et veldig konvensjonelt symbol som brukes til en wavefuntion), satte vi #psi (uarr) = a # og #psi (darr) = b #.

Nå vender vi til bølgefunksjonen. Et aspekt av en partikkel er selvfølgelig sin plassering. På samme måte som i tilfelle spin, kan vi måle forskjellige verdier for lokasjonen, og vi kan ha stater der resultatet av målingen ikke er fastsatt på forhånd. Siden vi har en uendelig uendelig mengde steder der en partikkel kan være, skriver du ned denne tilstanden som # En * "her" + b * "der" # vil ikke gjøre det. Imidlertid har ideen om funksjonen som vi har brukt ovenfor gjort. Så for alle steder # X #, vi har en kompleks verdi #psi (x) #. Sannsynlighetsdensitetsfunksjonen til partikkelen er nå gitt av # | Psi (x) | ^ 2 #.

I all rettferdighet er historien ideen om bølgefunksjonen eldre enn spinningen, men jeg tror at forstå ideen om spinn til en viss grad hjelper i forståelsen av bølgefunksjonen.

Nå først, hvorfor er bølgefunksjonen kompleks verdsatt? Den første grunnen finnes i tanken om forstyrrelser. Bølgefunksjonen til en partikkel kan forstyrre seg selv. Denne forstyrrelsen har å gjøre med å legge til bølgefunksjoner, hvis bølgemodusene gir samme absoluttverdien på et bestemt tidspunkt, så er sannsynligheten for å måle en partikkel rundt det punktet likt. Funksjonsverdiene kan imidlertid være forskjellige, hvis de er de samme, legger de opp vil gjøre amplitude eller sannsynlighetstetthet 4 (#|2|^2#) ganger større (konstruktive forstyrrelser), og hvis de avviger med et tegn, negerer de hverandre (destruktive forstyrrelser). Men kan også variere med for eksempel en faktor #Jeg#, noe som betyr at sannsynlighetstettheten blir #2# ganger større på det tidspunktet. Vi vet at alle disse forstyrrelsene kan forekomme. Så dette peker mot en kompleks verdsatt bølgefunksjon som beskrevet tidligere.

Den andre grunnen er funnet i Schrödinger-ligningen. I utgangspunktet ble det antatt at disse bølgefunksjonene oppførte seg akkurat som klassiske bølger. Men da Schrödinger forsøkte å beskrive oppførselen til disse bølgene, eller i hvert fall deres evolusjon gjennom tid, fant han at ligningen som styrer klassiske bølger ikke var tilstrekkelig. For at det skulle fungere, måtte han introdusere et komplekst tall i ligningen, og det førte til konklusjonen at selve funksjonen må være kompleks også, og rekkefølgen av derivatene som fremkommer i ligningen, er forskjellig fra den klassiske bølgenligningen.

Denne forskjellen i ligningene svarer også på ditt andre spørsmål. Siden utviklingen av bølgefunksjonen varierer så mye fra klassiske bølger, kan vi ikke bruke de samme metodene vi bruker i klassisk bølgefysikk. Det er selvfølgelig geometriske argumenter du kan bruke, men det vil ikke være nok til å beskrive alle fenomenene i kvantfysikk. Dessuten, selv om bølgefunksjonen gir mye informasjon om tilstanden til en partikkel, forteller det ingenting om spinnet, siden observabilitetene spinn og plassering har lite å gjøre med hverandre.

Kanskje tolker jeg hva du mener med en geometrisk natur feilaktig. Kan du kanskje gi et eksempel på hva du mener. Kanskje da kunne jeg hjelpe deg videre.

De bølgefunksjon representerer tilstanden til et kvantemekanisk system som et atom eller et molekyl.

Det kan også bli representert # Psi #, den tidsuavhengig bølgefunksjon, eller # Psi #, den tidsavhengig bølgefunksjon.

Fordi det bølge funksjon representerer tydeligvis et system som oppfører seg som a bølge (det er ingen tilfeldighet at det kalles bølge funksjon!), ville vi normalt forvente en ubegrenset bølgefunksjon å ha ingen grenser. Vurder det faktum at # Sinx # og # Cosx #, to funksjoner som er klart bølger, har domener til # (- oo, oo) #.

Eksempel: WAVE FUNKSJONEN FOR ORBITALER

Men la oss ta orbitaler for eksempel. Det må være et sett av grensebetingelser for en orbital, fordi åpenbart orbitaler ikke er uendelig store.

En bølgefunksjon kan skildre lineær kombinasjon av atomorbitaler å danne molekylære orbitaler:

#color (blå) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = farge (blå) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) + …)

hvor # C_i # er den ekspansjonskoeffisient som indikerer bidraget fra hvert atomomløp til det aktuelle molekylære orbitale, og # Phi_i ^ "AO" # er den eksperimentell / prøvebølgefunksjon for hvert atomomløp.

Siden en bølgefunksjon må kunne representere en bane, må den ha en positiv radius (#r> 0 #) og bølgefunksjonen må være enkelt -valued, lukket , kontinuerlige , ortogonale til alle relaterte bølgefunksjoner, og normalizable .

Med andre ord må den passere den vertikale linjetesten, ha et endelig område under kurven, har ingen hopp / diskontinuiteter / asymptoter / pauser, og tilfredsstille følgende to ligninger:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integralet av en bølgefunksjon og dens komplekse konjugat er #0# hvis bølgefunksjonene er forskjellige)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integralet av en bølgefunksjon og dets komplekse konjugat er normalisert slik at det tilsvarer #1# hvis bølgefunksjonene er de samme i tillegg til tegnet på # Pmi #)

Et eksempel på ligning for bølgefunksjonen i sfæriske koordinater for hydrogenatomet er:

#color (blå) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi)

(Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Å tenke, jeg brukte faktisk tid til å normalisere dette. Jeg tok selv tid til å sjekke om ortogonalitet med de andre to # 2p # bølgefunksjoner.: P

Bare i tilfelle, her er et vedlegg av det jeg har koblet over i Scratchpads.

#' '#

Normalisering av

De # 2p_z # Atom-orbitalbølgefunksjonen er:

#psi_ (2pz) #

(Teta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi)

(Zr) / (2a_0)) costheta # (1 / sqrt)

(McQuarrie)

Er den # 2p_z # bølgefunksjonen egentlig normalisert? LA OSS FINNE DET UT!

(r) r ^ (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (r) theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4dr int_) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (a) (=) 1 #

#color (grønn) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi) stackrel (?) (=) 1)

Nå, bare å undersøke den radiale delen, som er den galte delen … la den firedoble integrasjonen av deler begynne!

EVALUERING AV RADIELL KOMPONENT AV WAVE FUNKSJONEN

Del 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

La:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

(a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Del 2

La:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

(= (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r3-3-3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r3-3-3int (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Del 3

La:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

(=) (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r3-3- (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) r ^ 2-2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr}}

(a) - (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2-2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr}}

Del 4

La:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

(a) - (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) (Zr) / (a_0)) r-2 - 2 (- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r-int - (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) dr}} #

(a) - (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r-int e (- (Zr) /)) dr}} #

Ekspansjon / FORENKLING

(a_0) / Z ^ (Zr) / (a_0)) r ^ 4-4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r2 2 + (2a0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0))} #

# - - (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) ^ 2 ^ ^ - (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3-12 (a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- Zr) / (a_0)) r2-2 (2a0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# - - (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) ^ 2 ^ ^ - (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3-12 (a_0) / Z) ^ 3e ^ (- Zr) / (a_0)) r2-24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r +) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

(= (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) ^ 2 ^ ^ - (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

EVALUERING-KLAR FORM

(a_0) / (a_0) / Zr ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 _ (0) ^ (oo) #

Første halvdel avbryter å være #0#:

# = avbryt ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3o ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4o + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a)) (a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Andre halvdel forenkler ned å være # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = avbryt (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) avbryt ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + avbryt (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + avbryt (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + avbryt (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Nå, la oss undersøke bølgefunksjonen som helhet …

#psi_ (2pz) #

(2/3) (2pi) stackrel (a) (=) 1 #

# = 1 / (Avbryt (32) Avbryt (pi)) Avbryt ((Z / A_0) ^ 5) (Avbryt (16) Avbryt ((a_0 / Z) ^ 5)) (Avbryt (2) Avbryt (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (blå) (1 = 1) #

JA! EN ER LIKTIG EN! Jeg mener…

Bølgefunksjonen er faktisk normalisert!: D

Proving mutual orthogonality for 2p wave funksjoner

La oss velge følgende bølgefunksjoner:

(Zr / "2a_0) sintetosfosi # (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^" 3/2 "

(Zr / "2a_0) sinthetasinphi # (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z /

(Zr / "2a_0) costheta # (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^" 3/2 "

For å vise at de er ortogonale, må vi vise minst en av dem:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Og fra induksjon kan vi bety resten fordi radialkomponentene er identiske. Med andre ord:

(r) R_ (nl, 2pz) (r) r2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (a) (=) 0)

#color (grønn) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (a) (=) 0) #

Den radiale delen viser seg å være # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Så, la oss evaluere de vinklede delene.

De # Theta # del:

#color (grønn) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

La:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = farge (grønn) (0) #

Og nå # Phi # del:

#color (grønn) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = synd (2pi) - synd (0) #

La:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = farge (grønn) (0) #

Derfor har vi samlet:

#color (blå) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi)

# = Avbryt (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = farge (blå) (0) #

Siden

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

de # 2p_z # og # 2p_x # Atomorbitaler er ortogonale.

Egentlig, den største forskjellen med å bruke # 2p_y # ligning er at du i stedet får:

#color (grønn) ("Konstanter" int_ (0) ^ (oo) "Samme ting" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel 0) #

Og så:

#color (blå) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = farge (blå) (0) #

Fra å multiplisere #0# av de andre integralene, slik at hele integralet forsvinner og:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

dermed # 2p_x # og # 2p_y # Atomorbitaler er ortogonale.

Til slutt, for # 2p_y # vs. # 2p_z #:

#color (grønn) ("Konstanter" int_ (0) ^ (oo) "Samme ting" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel 0) #

Vi kjenner # Theta # integrert fra før:

#color (blå) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = farge (blå) (0) #

Og så forsvinner hele integralet igjen, og faktisk # 2p_y # og # 2p_z # Orbitals er også ortogonale!