Vi har x @ y = ax + ay-xy, x, y i RR og a er en ekte parameter. Verdier av en som [0,1] er stabil del av (RR, @)?

Svar:

#a i 1/2, 1 # eller #a = 1 # hvis vi vil #@# å kartlegge # 0, 1 xx 0, 1 # videre til #0, 1#.

Forklaring:

gitt:

#x @ y = ax + ay-xy #

Hvis jeg forstår spørsmålet riktig, vil vi bestemme verdiene for #en# for hvilke:

#x, y i 0, 1 rarr x @ y i 0, 1 #

Vi finner:

# 1 @ 1 = 2a-1 i 0, 1 #

derav #a i 1/2, 1 #

Noter det:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # og # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Derav maksimale og / eller minimumsverdier for #x @ y # når #x, y i 0, 1 # vil oppstå når #x, y i {0, a, 1} #

Anta #a i 1/2, 1 #

Vi finner:

# 0 @ 0 = 0 i 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 i 0, 1 #

# 0 @ 1 = 1 @ 0 = a i 0, 1 #

#a @ a = a ^ 2 i 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 i 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 i 0, 1 #

Så den gitte tilstanden er både nødvendig og tilstrekkelig.

I tillegg, hvis vi vil #x @ y # å være på #0, 1# så krever vi det # A = 1 #.